問題
2026年の札幌医科大学で出題された問題です。
典型問題ですが、面積比だけを求めるのであれば、このあと解答中に出てくる線分BC上の点Dなどは不要です。
平面に三角形 $ \mathrm{ABC} $ と点 $ \mathrm{P} $ があり，
\[
4\overrightarrow{\mathrm{PA}}
+5\overrightarrow{\mathrm{PB}}
+6\overrightarrow{\mathrm{PC}}
=\overrightarrow{0}
\]
を満たすとき，$ \triangle \mathrm{PAB}, \ \triangle \mathrm{PBC}, \ \triangle \mathrm{PCA} $ の面積をそれぞれ $ S_1,\ S_2,\ S_3 $ とする。
このとき \[ S_1:S_2:S_3 \] を最も簡単な整数の比で表せ。
このとき \[ S_1:S_2:S_3 \] を最も簡単な整数の比で表せ。
方針1. Aを始点とするベクトルを基準にする
Aを始点とするベクトルに直すのが一般的ですね。すると
\[
\overrightarrow{\mathrm{AP}} =\frac{
5 \overrightarrow{\mathrm{AB}}
+6\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{15}
\]
まで変形できるはずです。ここから方針が細分化されるのですが、ここでも一般的なのは、ベクトルAPを伸縮して辺BC上にくるようにすることです。上の式の状態を図示すると
となっているので、黄色の平行四辺形の右上の矢印の先がBC上に乗るようにします。APを伸ばしてBCにぶつかった点をDとすると下図のようになります。
これを式変形であわらすとどのようになるでしょう？
方針1a. APをBC上まで伸ばす
\[
4\overrightarrow{\mathrm{PA}}+5\overrightarrow{\mathrm{PB}}+6\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow 0 \hspace{5mm} \cdots \mbox{①}
\]
A を始点とするベクトルを考えると
\[
\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}}
\]
などより
\[
-4 \overrightarrow{\mathrm{AP}}
+5(\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}})
+6(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}})
=\overrightarrow 0
\]
\[
15\overrightarrow{\mathrm{AP}} =
5 \overrightarrow{\mathrm{AB}}
+6 \overrightarrow{\mathrm{AC}}
\]
よって
\[
\overrightarrow{\mathrm{AP}} =\frac{
5 \overrightarrow{\mathrm{AB}}
+6 \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{15}
\]
これはさらに
\[
\overrightarrow{\mathrm{AP}} =\frac{11}{15} \cdot \frac{
5 \overrightarrow{\mathrm{AB}}
+6 \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{11}
\]
と変形できるので
\[
\overrightarrow{\mathrm{AD}} =\frac{5 \overrightarrow{\mathrm{AB}}
+6 \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{11}
\]
とおくと点 $\mathrm{P}$ は
\[ \mbox{辺} \mathrm{BC} \mbox{を} 6:5 \mbox{に内分する点を} \mathrm{D} \mbox{としたとき、線分} \mathrm{AD} \mbox{を} 11:4 \mbox{に内分する} \]
ここで、△$\mathrm{ABC}$ の面積を $S$ とし、辺 $\mathrm{BC}$ を底辺とみなすと
\[
\triangle \mathrm{ABC} \mbox{の高さ} : \triangle \mathrm{PBC} \mbox{の高さ} =\mathrm{AD}:\mathrm{PD}=15:4
\]
よって
\[ S_2=\frac{4}{15}S \]
また、△$\mathrm{PAB}$ と △$\mathrm{PCA}$ において、辺 $\mathrm{AP}$ を底辺とみなすと
\[
\triangle \mathrm{PAB} \mbox{の高さ} : \triangle \mathrm{PCA} \mbox{の高さ} =\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=6:5
\]
であるが、この二つの三角形の面積の和は
\[ S-S_2=\frac{11}{15}S \]
なので
\[ S_1=\frac{6}{15}S, \ S_3=\frac{5}{15}S \]
以上より、求める面積比は
\[S_1:S_2:S_3=\frac{6}{15}S: \frac{4}{15}S : \frac{5}{15}S = 6:4:5 \hspace{5mm} \cdots (\mbox{答})\]
方針1b APを伸ばさなくても…
実は上図の段階で、△PABも△PCAも全体の三角形に対する面積比がわかります。辺ABを底辺とみることができれば
高さの比はすぐにわかります。答案にまとめるのが手間なくらいすぐわかります。
解答1b
\[ \overrightarrow{\mathrm{AB’}}=\frac{5}{15}\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \ \overrightarrow{\mathrm{AC’}}=\frac{6}{15}\overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
とすると、四角形 $\mathrm{AB’PC’}$ は平行四辺形であるから、
△$\mathrm{ABC}$ と △$\mathrm{PAB}$ において、辺 $\mathrm{AB}$ を底辺とみなすと \[ \triangle \mathrm{ABC} \mbox{の高さ} : \triangle \mathrm{PAB} \mbox{の高さ} =\mathrm{AC}:\mathrm{B’P}=\mathrm{AC}:\mathrm{AC’}=1:\frac{6}{15} \] よって \[S_1=\frac{6}{15}S \]
△$\mathrm{ABC}$ と △$\mathrm{PAB}$ において、辺 $\mathrm{AB}$ を底辺とみなすと \[ \triangle \mathrm{ABC} \mbox{の高さ} : \triangle \mathrm{PAB} \mbox{の高さ} =\mathrm{AC}:\mathrm{B’P}=\mathrm{AC}:\mathrm{AC’}=1:\frac{6}{15} \] よって \[S_1=\frac{6}{15}S \]
同様にして
△$\mathrm{ABC}$ と △$\mathrm{PCA}$ において、辺 $\mathrm{AC}$ を底辺とみなすと
\[
\triangle \mathrm{ABC} \mbox{の高さ} : \triangle \mathrm{PCA} \mbox{の高さ} =\mathrm{AB}:\mathrm{PC’}=\mathrm{AB}:\mathrm{B’A}=1:\frac{5}{15}
\]
よって
\[S_3=\frac{5}{15}S \]
以上より、
\[S_1:S_2:S_3=\frac{6}{15}S: 1-\frac{6}{15}S-\frac{5}{15}S : \frac{5}{15}S = 6:4:5 \hspace{5mm} \cdots (\mbox{答})\]
方針2. Pを始点とするベクトルを基準にする
少数派だと思いますが、Pを始点にとって、PAとPBを基準にとってみます。
\[
4\overrightarrow{\mathrm{PA}}+5\overrightarrow{\mathrm{PB}}+6\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow 0 \hspace{5mm} \cdots \mbox{①}
\]
P を始点とするベクトルを考えると
\[ \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\frac{-4\overrightarrow{\mathrm{PA}}-5\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{6} \hspace{5mm} \cdots \mbox{②}\]
と変形できる。
この段階で図を描くと下のようになります。
方針(A) PCをAB上まで伸縮させると
\[ \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\frac{-4\overrightarrow{\mathrm{PA}}-5\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{6} \hspace{5mm} \cdots \mbox{②}\]
は
\[
\overrightarrow{\mathrm{PC}}=-\frac{3}{2}\frac{4\overrightarrow{\mathrm{PA}}+5\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{9}
\]
と変形できるので
\[
\overrightarrow{\mathrm{PE}}=\frac{4\overrightarrow{\mathrm{PA}}+5\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{9}
\]
とおくと点 $\mathrm{P}$ は
\[ \mbox{辺} \mathrm{AB} \mbox{を} 5:4 \mbox{に内分する点を} \mathrm{E} \mbox{としたとき、線分} \mathrm{CE} \mbox{を} 3:2 \mbox{に内分する} \]
また全体の面積を基準に考えていくと
ここで、△$\mathrm{ABC}$ の面積を $S$ とし、辺 $\mathrm{AB}$ を底辺とみなすと
\[
\triangle \mathrm{ABC} \mbox{の高さ} : \triangle \mathrm{PAB} \mbox{の高さ} =\mathrm{CE}:\mathrm{PE}=5:2
\]
よって
\[ S_1=\frac{2}{5}S \]
次に、△$\mathrm{PBC}$ と △$\mathrm{PCA}$ において、辺 $\mathrm{CP}$ を底辺とみなすと
\[
\triangle \mathrm{PBC} \mbox{の高さ} : \triangle \mathrm{PCA} \mbox{の高さ} =\mathrm{BE}:\mathrm{EA}=4:5
\]
であるが、この二つの三角形の面積の和は
\[ S-S_1=\frac{3}{5}S \]
なので
\[ S_2=\frac{3}{5}S \times \frac{4}{4+5}=\frac{4}{15}, \ S_3=\frac{3}{5}S \times \frac{5}{4+5}=\frac{5}{15}S \]
以上より、求める面積比は
\[S_1:S_2:S_3=\frac{2}{5}S: \frac{4}{15}S : \frac{5}{15}S = 6:4:5 \hspace{5mm} \cdots (\mbox{答})\]
方針（B) PCのままで
今度も、これ以上ベクトルを触らなくて解答できます。
基準となるベクトルがPAとPBなので、面積比の基準もPABのほうが簡単になりそうです。
方針(2-B) 解答 …面積の基準は△PABに
\[ \overrightarrow{\mathrm{PA”}}=-\frac{4}{6}\overrightarrow{\mathrm{PA}}, \ \overrightarrow{\mathrm{PB”}}=-\frac{5}{6}\overrightarrow{\mathrm{PB}} \]
とすると、四角形 $\mathrm{PB”CA”}$ は平行四辺形であるから、
△$\mathrm{PAB}$ と △$\mathrm{PCA}$ において、辺 $\mathrm{AP}$ を底辺とみなすと \[ \triangle \mathrm{PAB} \mbox{の高さ} : \triangle \mathrm{PCA} \mbox{の高さ} =\mathrm{PB}:\mathrm{CA”}=\mathrm{PB}:\mathrm{PB”}=1:\frac{5}{6} \] よって \[S_3=\frac{5}{6}S_1 \]
△$\mathrm{PAB}$ と △$\mathrm{PCA}$ において、辺 $\mathrm{AP}$ を底辺とみなすと \[ \triangle \mathrm{PAB} \mbox{の高さ} : \triangle \mathrm{PCA} \mbox{の高さ} =\mathrm{PB}:\mathrm{CA”}=\mathrm{PB}:\mathrm{PB”}=1:\frac{5}{6} \] よって \[S_3=\frac{5}{6}S_1 \]
同様にして、△$\mathrm{PAB}$ と △$\mathrm{PBC}$ において、辺 $\mathrm{BP}$ を底辺とみなすと
\[
\triangle \mathrm{PAB} \mbox{の高さ} : \triangle \mathrm{PBC} \mbox{の高さ} =\mathrm{PA}:\mathrm{CB”}=\mathrm{PB}:\mathrm{PA”}=1:\frac{4}{6}
\]
よって
\[S_2=\frac{4}{6}S_1 \]
以上より、求める面積比は
\[S_1:S_2:S_3=S_1: \frac{4}{6}S_1 : \frac{5}{6}S_1 = 6:4:5 \hspace{5mm} \cdots (\mbox{答})\]
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