整数 2023 和歌山県立医科大学 整数問題
2023年(令和5年度)の和歌山県立医科大学入試で出題された、整数問題です。問題次の各方程式について，その方程式をみたす自然数の組 \((x,y)\) は存在するか。存在するときはすべての組を求め，存在しないときはそのことを示せ。\begi...
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整数 n^5-n のすべての項に共通な最大の約数は？
(1) 数列 $a_n = n^3 - n \; (n=1,2,3,\dots)$ のすべての項に共通な最大の正の約数を求めよ。(2) 数列 $b_n = n^5 - n \; (n=1,2,3,\dots)$ のすべての項に共通な最大の正...
整数 早稲田大学社会科学部2026整数問題 合同式による解法
問題次の問に答えよ。(1) 2元1次不定方程式 $31x+19y=1 $ の整数解をすべて求めよ。(2) $19$ で割り切れ、$31$ で割ると $1$ 余る最小の自然数を求めよ。(3) $19$ で割ると $10$ 余り、$31$ で割...
因数分解 公式覚えているだけではもったいなさすぎる x^3+y^3+z^3-3xyz の因数分解(旭川医大 2015)
今回は3文字の3乗の因数分解に関連した問題です。問題$ f(p, \ q, \ r) = p^3- q^3-27r^3- 9pqr $ について，次の問いに答えよ。(1) $ f(p, \ q, \ r) $を因数分解せよ。(2) 等式 $...
整数 模範解答と一致しない不定方程式の答えの確認方法
二元一次不定方程式の整数解を求めたときに、模範解答と一致しなかったり、空欄をうまく埋めることができないと困ったり悩んだりしたことはありませんか？ 不定方程式はその名の如く、解が一つには定まらない方程式なので、答えの表しかたもいくらでもありま...
整数 2023年共通テスト数IA追試 第4問整数問題解説
2023年の共通テスト追試で出題された、数学ⅠA第４問整数問題についての解説です。3文字の一次不定方程式を連立する誘導に乗れるかがポイントになりそうです。連立すると2文字の一次不定方程式があらわれるので, 余りで場合分けしたり合同式で解いた...
整数 方程式 2x + 11y = 5 を満たす整数 x，y のうち，100 < x + y < 500 を満たすのは何組？（日大医2023)
問題方程式 $2x + 11y = 5$ を満たす整数 $x，y$ のうち，$100 < x + y < 500$ を満たすのは何組？mod 2 で合同式の変形をしていくと、後半の $x+y$の部分が少しやりにくくなります。不定方程式の一般...
整数 2023整数問題 ルート(n^2+2023) が整数
問題$ \sqrt{n^2+2023} $ が整数になるときの自然数 $n$ と, そのときの整数の値を求めよ。数学のコツ壺・整数問題は、まず(整数)×(整数)の形に因数分解してみる結局ポイントになりそうなのは、$2023=7 \cdot ...
整数 2023年問題 1次不定方程式17x+51y=2023の整数解
【問題】1次不定方程式 $17x+51y=2023$ を満たす自然数 $x, \hspace{1mm} y$ の組はいくつあるか求めよ。また, このとき, $ \displaystyle \frac{y}{x-3} $ の最大値と最小値を求...
整数 3文字の一次不定方程式の解き方を合同式でパターン化しておきたいなら
当ブログでは、2文字の一次不定方程式すなわち2元一次不定方程式の一般解を求める方法として合同式を使って解説しています。YouTubeもあわせてたくさん見ていただきありがとうございます。文字が一つ増えて3文字の一次不定方程式になっても合同式は...