整数 2023 和歌山県立医科大学 整数問題
2023年(令和5年度)の和歌山県立医科大学入試で出題された、整数問題です。問題次の各方程式について，その方程式をみたす自然数の組 \((x,y)\) は存在するか。存在するときはすべての組を求め，存在しないときはそのことを示せ。\begi...
整数 
整数 n^5-n のすべての項に共通な最大の約数は？
(1) 数列 $a_n = n^3 - n \; (n=1,2,3,\dots)$ のすべての項に共通な最大の正の約数を求めよ。(2) 数列 $b_n = n^5 - n \; (n=1,2,3,\dots)$ のすべての項に共通な最大の正...
ベクトル ベクトルと三角形の面積比【始点どれにする？分点の公式使わなくてもできる？】
問題2026年の札幌医科大学で出題された問題です。典型問題ですが、面積比だけを求めるのであれば、このあと解答中に出てくる線分BC上の点Dなどは不要です。平面に三角形 $ \mathrm{ABC} $ と点 $ \mathrm{P} $ があ...
整数 早稲田大学社会科学部2026整数問題 合同式による解法
問題次の問に答えよ。(1) 2元1次不定方程式 $31x+19y=1 $ の整数解をすべて求めよ。(2) $19$ で割り切れ、$31$ で割ると $1$ 余る最小の自然数を求めよ。(3) $19$ で割ると $10$ 余り、$31$ で割...
数列 積分を用いたシグマk^3の公式証明
2026年の藤田医科大の問題を次数を下げて簡単にしました。実際の問題を先に解いてみたいかたはご注意ください。問題(1) 任意の実数 $x$ に対して\[\int_{x}^{x+1} f(u)\,du = x^3\]を満たす3次の整式 $f(...
因数分解 たすきがけせずに3a^2 – 5ab – 2b^2 + 4a – b + 1を因数分解
例題次の式を、たすきがけせずに因数分解せよ。\たすきがけできる人は、$ 3a^2-5ab -2b^2 $から因数分解する方法を試してみてください（【関連記事】→ ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f の因数分解 )ステップ 1：グルー...
微分積分 「解の配置」苦手な人は、他の可能性を広げるチャンス
2次方程式の「解の配置」って、やることはわかっているんだけど、解こうとするとなかなか思った通りにはできない。そんな人は非常に多いと思います。今回は、解の配置の問題を他のやり方で出来ないか、一緒に考えていきましょう。ただし、文字定数( $a$...
速く確実に計算する工夫 【プラスα】インド式掛け算
２桁×２桁の計算のうち、ある特別な場合はインド式掛け算を使うと一瞬で計算ができます。インド式掛け算代表的な例を計算してみるとインド式掛け算 どんな場合に？ 計算のやりかたは？例題\begin{eqnarray}(1) \ 34 \times...
因数分解 数Ⅰの因数分解全パターン、実はワンパターン？
今回は高校数学の数Ⅰで学ぶ、因数分解について解説します。この記事が役に立てそうな人たちこの記事が役に立ちそうなのは、次のいずれかの人たちです。・因数分解（特にたすきがけの因数分解）が苦手は生徒・因数分解（特にたすきがけの因数分解）の苦手な生...
因数分解 【裏技？】たすき掛け因数分解をしない因数分解
たすき掛けの因数分解で数学が終了となってしまう高校生がたくさんいます。悪夢として忘れてしまった人もいるかもしれませんが、\[acx^2+(ad+bc)x+bd = (ax+b)(cx+d)\]が、たすき掛けの因数分解です。実際の方法は教科書...