2023年(令和5年度)の和歌山県立医科大学入試で出題された、整数問題です。
問題
次の各方程式について，その方程式をみたす自然数の組 \((x,y)\) は存在するか。
存在するときはすべての組を求め，存在しないときはそのことを示せ。
\begin{align}
(1) \ & 4xy-12x-3y=25 \\
(2) \ & 9x^2-4y^2=35 \\
(3) \ & 9x^2+18x-4y^2+16y=72
\end{align}
夏休みが始まる前に、勉強の現在地を知ろう
方針
整数問題では、まず整数×整数の形に直せそうか考えてみましょう。
和歌山県立医科大学の問題の前に、例題を確認しておきましょう。
例題
【例題】
\[
xy-2x-y=5
\]
を満たす, 自然数の組 $(x, \ y)$ を求めよ。
【解答】
与式を変形すると \begin{align} x(y-2)-y=5 \\ x(y-2)-(y-2)=5+2 \\ \color{yellow}{(x-1)(y-2)}=7 \hspace{5mm}\cdots \mbox{①} \end{align} これを満たす, 整数 $x-1$ と$y-2$ の組は \begin{array}{c||c|c|c|c} \hline x-1 & 1 & 7 & -1 & -7\\ \hline y-2 & 7 & 1 & -7 & -1\\ \hline \end{array} これらのうち, $x, \ y$ が自然数になるのは \[ (x, \ y)=(2, \ 9), (8, \ 3) \]
【解答】
与式を変形すると \begin{align} x(y-2)-y=5 \\ x(y-2)-(y-2)=5+2 \\ \color{yellow}{(x-1)(y-2)}=7 \hspace{5mm}\cdots \mbox{①} \end{align} これを満たす, 整数 $x-1$ と$y-2$ の組は \begin{array}{c||c|c|c|c} \hline x-1 & 1 & 7 & -1 & -7\\ \hline y-2 & 7 & 1 & -7 & -1\\ \hline \end{array} これらのうち, $x, \ y$ が自然数になるのは \[ (x, \ y)=(2, \ 9), (8, \ 3) \]
上の例題では①式の左辺が整数×整数です。これが7になるような整数を考えて、あとから $x, \ y$ が(0より大きい整数である)自然数になるものに絞りこんでいます(もちろん先に絞り込んでもOKです)。
和歌山県立医科大学の問題に戻ると（１）では $(4x-3)(y-3)$が整数×整数です。これが$34$になるように $4x-3$ と $y-3$ に整数を振り分けます。
（２）と（３）も整数×整数の形を目標に変形してみましょう。
夏休みが始まる前に、勉強の現在地を知ろう解答
（１）解答
\begin{align}
4xy-12x&-3y=25 \\
4x(y-3)&-3y=25 \\
4x(y-3)&-3(y-3)=25+9 \\
(4x-3)&(y-3)=34
\end{align}
$4x-3, \ y-3 $ は整数だから
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c}
\hline
4x-3 & 1 & 2 & 17 & 34 & -1 & -2 & -17 & -34\\
\hline
y-3 & 34 & 17 & 2 & 1 & -34 & -17 & -2 & -1\\
\hline
\end{array}
すなわち
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c}
\hline
4x & 4 & 5 & 20 & 37 & 2 & 1 & -14 & -31\\
\hline
y & 37 & 20 & 5 & 4 & -31 & -14 & 1 & 2\\
\hline
\end{array}
これらのうち, $x, \ y$ が自然数になるのは
\[ (x, \ y) =(1, \ 37), \ (5, \ 5) \cdots (\mbox{答}) \]
（２）解答
\[ 9x^2-4y^2=35 \]
の左辺を因数分解すると
\[ (3x-2y)(3x+2y)=35 \]
と変形できるが, $x, \ y$ は自然数なので
\[ 3x+2y>0 \]
で、このとき
\[ 3x-2y >0 \]
で、さらに
\[ -2y<2y \]
より
\[ 3x-2y<3x+2y \]
だから, $3x-2y$ と$3x+2y$の組になりえるのは
\begin{array}{c||c|c}
\hline
3x-2y & 1 & 5\\
\hline
3x+2y & 35 & 7 \\
\hline
\end{array}
すなわち
\begin{array}{c||c|c}
\hline
3x & 18 & 6\\
\hline
2y & 17 & 1 \\
\hline
\end{array}
となるが, これらを満たす自然数$(x, \ y)$は存在しない。
（３）解答
\[ 9x^2+18x-4y^2+16y=72 \]
より
\begin{align}
9(x^2+2x)-4(y^2-4y)=72 \\
9(x^2+2x+1)-4(y^2-4y+4)=72+9-16 \\
9(x+1)^2-4(y-2)^2=65
\end{align}
と変形できるが,
\[ X=x+1, \ Y=y-2 \]
とおくと
\begin{align}
9X^2-4Y^2=65 \\
(3X-2Y)(3X+2Y)=65
\end{align}
$x, \ y$ は自然数なので
\[ 3X+2Y=3(x+1)+2(y-2)=3x+2y+1>0 \]
すると, $3X-2Y$ と$3X-2Y$の組は
\begin{array}{c||c|c|c|c}
\hline
3X-2Y & 1 & 5 & 13 & 65\\
\hline
3X+2Y & 65 & 13 & 5 & 1 \\
\hline
\end{array}
すなわち
\begin{array}{c||c|c|c|c}
\hline
3X & 33 & 9 & 9 & 33\\
\hline
2Y & 32 & 4 & -4 & -32 \\
\hline
\end{array}
$Y=y-2>-2$ より $2Y>-4$なので(後半2組は除外)
\begin{array}{c||c|c}
\hline
X & 11 & 3 \\
\hline
Y & 16 & 2 \\
\hline
\end{array}
よって, 求める自然数 $x, \ y$ は
\[ (x, \ y) = (10, \ 5), \ (15, \ 4) \cdots (\mbox{答}) \]
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