2023年の共通テスト追試で出題された、数学ⅠA第４問整数問題についての解説です。
3文字の一次不定方程式を連立する誘導に乗れるかがポイントになりそうです。連立すると2文字の一次不定方程式があらわれるので, 余りで場合分けしたり合同式で解いたりしてみました。
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(1) 7x+13y+17z=8 と 35x+39y+34z=37 の共通整数解
(1) 問題
$ x, y, z $ についての二つの式をともに満たす整数 $x,y,z $ が存在するかどうかを考えてみよう。
(1) 二つの式が \[ 7x+13y+17z = 8 \hspace{5mm} \cdots \mbox{①} \] と \[ 35x+39y+34z = 37 \hspace{5mm} \cdots \mbox{②} \] の場合を考える。①, ②から $x$ を消去すると \[ \bbox[2px, border: 3px solid black]{アイ} y+\bbox[2px, border: 3px solid black]{ウエ}z=3 \hspace{5mm} \cdots \mbox{③} \]
を得る。③を $y,z$についての不定方程式とみると, その整数解のうち, $y$が正の整数で最小になるのは \[ y=\bbox[2px, border: 3px solid black]{オ}, \hspace{3mm} z=\bbox[2px, border: 3px solid black]{カキ}\]である。よって, ③のすべての整数解は, $k$を整数として\[ y=\boxed{オ} – \bbox[2px, border: 3px solid black]{クケ}k, \hspace{3mm} z=\boxed{カキ}+\bbox[2px, border: 3px solid black]{コサ}k \]と表される。これらを①代入して $x$を求めると \[ x=31k-3+\displaystyle \frac{\bbox[2px, border: 3px solid black]{シ}k+2}{7} \]となるので, $x$が整数になるのは, $k$ を $7$ で割ったときの余りが $ \bbox[2px, border: 3px solid black]{ス} $ のときである。
以上のことから, この場合は, 二つの式をともに満たす整数 $x,y,z $ が存在することがわかる。
(1) 解答
アイ 26, ウエ 51
オ 6, カキ -3
クケ 51, コサ 26
シ 4, ス 3
(1) 解説
$ \mbox{①} ×5-\mbox{②} $ をつくると
\begin{array}{cc}
& 35x+65y +85z=40 \\
-) & 35x+39y+34z=37 \\
\hline
& \hspace{35mm} \bbox[2px, border: 3px solid black]{26}y+\bbox[2px, border: 3px solid black]{51}z=3 \hspace{5mm} \cdots (a) \end{array}
$ 51=26 \times 2-1 $より \[ -z \equiv3 \pmod{26} \] すなわち \[ z \equiv -3 \pmod{26} \] となるので \[ z=26k’-3 \hspace{5mm} (k’ \mbox{は整数}) \] とおける(追って $k’=k$ も確認できるが, この段階では正の整数で最小になる $y$ の値はわからないので)。$(a)$ に代入すると \begin{eqnarray} 26y+51(26k’-3)&=3 \\ 26y+51 \times 26k’-156&=0 \\ \therefore y=6-51k’ \end{eqnarray}
$k’=0$のとき, $y$は最小の正の整数となるので $k’=k$ としてよく \[ y=\bbox[2px, border: 3px solid black]{6} – \bbox[2px, border: 3px solid black]{51}k, \hspace{5mm} z=\bbox[2px, border: 3px solid black]{-3} + \bbox[2px, border: 3px solid black]{26}k \]
これらを①に代入すると \begin{eqnarray} 7x+13(6-51k)+17(-3+26k) = 8 \\
7x+78-663k-51+442k&=&8 \\
7x-221k+19&=&0 \\
7x-(7 \times 31+4)k+7 \times3-2&=&0 \\
x=31k-3+\displaystyle \frac{\bbox[2px, border: 3px solid black]{4}k+2}{7}
\end{eqnarray}
となるので, $x$ が整数になるのは \[ 4k+2 \mbox{が} 7 \mbox{で割り切れるとき}\] すなわち \[ 4k+2 \equiv0 \pmod{7} \] のときだが, これは \[ -3k+2 \equiv0 \pmod{7} \] と変形できるので, 辺々加えると \[ k+4 \equiv0 \] すなわち \[ k \equiv -4 \equiv 3 \pmod{7} \] となる。これより, $x$ が整数になるのは $k$ を $7$ で割ったときの余りが $ \bbox[2px, border: 3px solid black]{3} $ のときである。
(2) 2x+5y+7z=a と 3x+25y+21z=-1 の共通整数解
(2) 問題
$a$ を整数とする。二つの式が \[ 2x+5y+7z=a \hspace{5mm} \cdots \mbox{④} \] と \[ 3x+25y+21z = -1 \hspace{5mm} \cdots \mbox{⑤} \] の場合を考える。⑤ $-$ ④から \[ x=-20y-14z-1-a \hspace{5mm} \cdots \mbox{⑥} \] を得る。また, ⑤ $ \times 2- $ ④ $\times 3$から \[ 35y+21z=-2-3a \cdots \mbox{⑦} \] を得る。このとき \[ a \mbox{を}\bbox[2px, border: 3px solid black]{\mbox{セ}} \mbox{で割ったときの余りが} \bbox[2px, border: 3px solid black]{\mbox{ソ}} \mbox{である} \] ことは, ⑦を満たす整数 $y, z$ が存在するための必要十分条件であることがわかる。そのときの整数 $y, z$ を ⑥ に代入すると $x$ も整数になる。また, そのときの $x,y,z$ は④と⑤をともに満たす。
以上のことから, この場合は, $a$ の値によって, 二つの式をともに満たす整数 $x,y,z$ が存在する場合と存在しない場合があることがわかる。
(2) 解答
セ 7, ソ 4
(2) 解説
\[ 35y+21z=7(5y+3y) \]
より
\[ 35y+21z=-2-3a \cdots \mbox{⑦} \]
の左辺は $7$ の倍数であるから, 右辺も $7$ の倍数でなければならない。よって
\[ -2-3a =7l \hspace{5mm} (lは\mbox{整数})\]
とおけ, 法を7の合同式を考えると
\[ -2-3a \equiv0 \pmod{7} \]
さらに, $ -3 \equiv 4 \pmod{7} $ より
\[-2+4a \equiv0 \pmod{7} \]
とも変形できるので, 辺々加えると
\[ -4+a\equiv0 \hspace{5mm} \mbox{すなわち} \hspace{5mm} a\equiv 4 \pmod{7} \]
となるので, 求める条件は
\[ a \mbox{を}\bbox[2px, border: 3px solid black]{7} \mbox{で割ったときの余りが} \bbox[2px, border: 3px solid black]{4} \mbox{である} \]
ことである。
(3) x+2y+bz=1 と 5x+6y+3z=5+b の共通整数解
(3) 問題
$b$ を整数とする。二つの式が \[ x+2y+bz=1 \hspace{5mm} \cdots \mbox{⑧} \] と \[ 5x+6y+3z = 5+b \hspace{5mm} \cdots \mbox{⑨} \] の場合を考える。⑨ $-$ ⑧ $\times 5$から \[ -4y+(3-5b)z=b \hspace{5mm} \cdots \mbox{⑩} \] を得る。⑩の左辺の $y$の係数に着目することにより \[ b \mbox{を} 4 \mbox{で割ったときの余りが} \bbox[2px, border: 3px solid black]{\mbox{タ}} \mbox{または} \bbox[2px, border: 3px solid black]{\mbox{チ}} \mbox{である} \] ことは, ⑩を満たす整数 $y, z$ が存在するための必要十分条件であることがわかる。ただし, $\boxed{\mbox{タ}} < \boxed{\mbox{チ}}$ とする。
そのときの整数 $y, z$ を ⑧ に代入すると $x$ も整数になる。また, そのときの $x,y,z$ は⑧と⑨をともに満たす。
以上のことから, この場合も, $b$ の値によって, 二つの式をともに満たす整数 $x,y,z$ が存在する場合と存在しない場合があることがわかる。
(3) 解答
タ 0, チ 2
(3) 解説
\[ -4y+(3-5b)z=b \hspace{5mm} \cdots \mbox{⑩} \]
法を4とする合同式を考えると $5\equiv 1$なので
\[ (3-b)z \equiv b \pmod4 \hspace{5mm} \cdots \mbox{⑩’} \]
i) $ b \equiv 0 \pmod4 $ のとき
\[ 3z \equiv 0 \pmod4 \]
$3\equiv -1$なので
\[ -z \equiv 0 \hspace{5mm} \mbox{すなわち} \hspace{5mm} z\equiv 0 \pmod4 \]
これより, $z$ が $4$の倍数ならば, ⑩を満たす整数 $y$ が存在する。
ii) $ b \equiv 1 \pmod4 $ のとき
⑩’ は
\[ 2z \equiv 1 \pmod4 \]
と変形できるが, $2z$は偶数なので, $4$で割って$1$になることはなく不適。
iii) $ b \equiv 2 \pmod4 $ のとき
\[ z \equiv 2 \pmod4 \]
となるので, $z$ が $4$で割って$2$余る整数ならば, ⑩を満たす整数 $y$ が存在する。
iv) $ b \equiv 3 \pmod4 $ のとき
⑩’ は
\[ 0 \equiv 3 \pmod4 \]
と変形できるが, これは $4$で割ったときに左辺は割り切れ, 右辺は3余ることを意味するので不適。
以上より, 空欄タとチは, それぞれ $ \bbox[2px, border: 3px solid black]{0},\bbox[2px, border: 3px solid black]{2} $ となる。
(4) x+3y+5z=1 と cx+3(c+5)y+10z=3 の共通整数解
(4) 問題
$c$ を整数とする。二つの式が \[ x+3y+5z=1 \hspace{5mm} \cdots \mbox{⑪} \] と \[ cx+3(c+5)y+10z = 3 \hspace{5mm} \cdots \mbox{⑫} \] の場合を考える。これまでと同様に, $y,z $ についての不定方程式を考察することにより \[ c \mbox{を} \bbox[2px, border: 3px solid black]{\mbox{ツテ}} \mbox{で割ったときの余りが} \bbox[2px, border: 3px solid black]{\mbox{ト}} \mbox{または} \bbox[2px, border: 3px solid black]{\mbox{ナニ}} \mbox{である} \] ことは, ⑪と⑫をともに満たす整数 $x, y, z$ が存在するための必要十分条件であることがわかる。
(4) 解答
ツテ 15, ト 3, ナニ 13
(4) 解説
$ \mbox{⑫} – \mbox{⑪} ×c $ をつくると
\begin{array}{cc}
& cx+3(c+5)y +10z=3 \\
-) & cx \hspace{10mm} +3cy+5cz=c \\
\hline
& \hspace{25mm} 15y+(10-5c)z=3-c \hspace{5mm} \end{array}
すなわち
\[ 5 \{ 3y+(2-c)z \} = 3-c \hspace{5mm} \cdots (b)\]
を得るので,
\[ 3-c=5m \hspace{5mm} (m\mbox{は整数}) \hspace{5mm} \cdots (c)\]
でなければならず, このとき (b) は
\[ 3y+\{ 2-(3-5m) \}z = m \]
すなわち
\[ 3y+(5m-1)z = m \hspace{5mm} \cdots (d) \]
と変形できる。ここで $y$の係数に着目して法を$3$とする合同式を考えると
\[ (2m-1)z \equiv m \pmod3 \hspace{5mm} \cdots (e) \]
i) $ m \equiv 0 \pmod3 $ のとき
(e) は
\[ -z \equiv 0 \mbox{すなわち} \hspace{5mm} z\equiv 0\pmod3 \]
となるので, $z$ が $3$の倍数ならば, (d) を満たす整数 $y$ が存在する。
ii) $ m \equiv 1 \pmod3 $ のとき
(e) は
\[ z \equiv 1\pmod3 \]
となるので, $z$ が $3$で割って1余る数ならば, (d) を満たす整数 $y$ が存在する。
iii) $ m \equiv 2 \pmod3 $ のとき
(e) は
\[ 3z \equiv 2 \mbox{すなわち} \hspace{5mm} 0 \equiv 2 \pmod3 \]
となるので不適。
以上より
\[ m = 3n, 3n+1 \hspace{5mm} (nは\mbox{整数})\]
$(c) $ より得られる $ c=3-5m $ とから
$m=3n$ のとき
\[ c=3-15n \]
$m=3n+1$のとき
\[ c=3-5(3n+1)=-15n-2=-15(n+1)+13 \]
以上より, 求める条件は
\[ c \mbox{を} \bbox[2px, border: 3px solid black]{15} \mbox{で割ったときの余りが} \bbox[2px, border: 3px solid black]{3} \mbox{または} \bbox[2px, border: 3px solid black]{13} \mbox{である} \] ことである。
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