4枚のコインを同時に投げたときの表の枚数に関する確率（2023埼玉医科大学）

問題

$4$ 枚のコインを同時に投げ，表が出たコインの枚数を数えることを $4$ 回繰り返した。
問1. $4$ 回のすべてで表が出るコインの枚数が $2$ 以上になる確率は
\[ \displaystyle \left( \frac{\bbox[2px, border: 2px solid black]{1} \bbox[2px, border: 2px solid black]{2}}{\bbox[2px, border: 2px solid black]{3} \bbox[2px, border: 2px solid black]{4}} \right) ^4 \]
である。
問2. $4$ 回の中で表が出るコインの枚数の最小値が $2$ である確率は
\[ \displaystyle \frac{\bbox[2px, border: 2px solid black]{5} \bbox[2px, border: 2px solid black]{6} \bbox[2px, border: 2px solid black]{7}}{\bbox[2px, border: 2px solid black]{8} \bbox[2px, border: 2px solid black]{9} \bbox[2px, border: 2px solid black]{10} \bbox[2px, border: 2px solid black]{11}} \]
である。
問3. .$4$ 回の中で表が出るコインの枚数の最小値が $2$，かつ最大値が $4$ である確率は
\[ \displaystyle \frac{\bbox[2px, border: 2px solid black]{12} \bbox[2px, border: 2px solid black]{13} \bbox[2px, border: 2px solid black]{14}}{\bbox[2px, border: 2px solid black]{15} \bbox[2px, border: 2px solid black]{16} \bbox[2px, border: 2px solid black]{17} \bbox[2px, border: 2px solid black]{18}} \]
である。

解答

$4$ 枚のコインを同時に投げたときに出る表の枚数の確率は

（１）$4$ 枚のコインを同時に投げた時, $2$ 以上の目が出る確率は
\[ \displaystyle {}_4 \mathrm{C}_2 \left( \frac{1}{2} \right) ^2 \left( \frac{1}{2} \right) ^2+\displaystyle {}_4 \mathrm{C}_3 \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \right) ^3+\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^4=\frac{11}{16}\]
これが $4$ 回連続で起こるから, 求める確率は
\[ \left( \frac{11}{16} \right) ^4 \hspace{5mm} \cdots \mbox{(答)}\]

（２）コインの枚数の最小値が $2$ となるのは, $4$ 枚のコインを同時に投げた時, $2$ 以上の目が出て, かつ $3$ 以上だけの目にならないときである。

ここで, $4$ 枚のコインを同時に投げたとき, $3$ 以上だけの目になる確率は
\[ \displaystyle {}_4 \mathrm{C}_3 \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \right) ^3+\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^4=\frac{5}{16}\]
なので, 求める確率は
\begin{eqnarray}
\left( \frac{11}{16} \right) ^4-\left( \frac{5}{16} \right) ^4 &=& \frac{121^2-25^2}{16^4} \\
&=& \frac{(121+25)(121-25)}{16^4} \\
&=& \frac{146 \cdot 96}{16^4} \\
&=& \frac{73 \cdot 12}{16^3} \\
&=& \frac{219}{1024} \hspace{5mm} \cdots \mbox{(答)}
\end{eqnarray}

数学のコツ壺

n でなくても、数を少なくして実験

n なら1とか2とかで試してみたくなるのですが、具体的な数値になるとそのまま扱いがち。

それでも解ければ問題ありませんが、困ったら「nでなくても、数を少なくして実験」してみましょう。

4回でなく2回にすると表が簡単に描けます

4個のコインを同時に投げる試行を4回でなく、2回にしてみます。そうすると表の出た枚数を表で表すことができます。