a, a, a, a, a, b, b, c の8文字を１列に並べる方法

2023年の東海大学医学部の入試問題です。場合の数の問題としては同じものを含む順列の基本的な考え方を確認しましょう。同時に、複数の文字が出てきたときの考え方も確実に使えるように練習しておきましょう。

方針

(A) 登場回数の少ない文字に着目する

方程式を扱うときと同じように、複数の文字があるときは「登場回数の少ない文字に着目」するのが基本的な考え方のひとつです。

(B) 同じ文字をいったん区別して並べる【同じものを含む順列】

いったん区別して並べると重複ができるので、それを解消します。同じものを含む順列の基本的な考え方です。

文字 c に着目すると, 8か所のうち1か所を選んで cを並べる方法が $ _8 C _1$ (通り)。

次に文字 b に着目すると, cを並べたあとの7か所から文字 b の場所の選びかたが $ _7 C _2 $ (通り)ある。

文字 b, c の場所を決めるとあとは5か所残るが、そこには a を並べればよいので

\[ _8 C_1 \times _7 C _2 = 168 (\mbox{通り}) \]

5つの a を, a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, 2つの b を, b_1, b_2 として一列に並べると

\[ 8! (\mbox{通り})\]

あるが, 5つの a の並べ替え分の 5! と 2つの b の並べ替え分の 2! が重複するので

\[ \frac{8!}{5! \cdot 2!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 2} = 168 (\mbox{通り})\]