問題
箱の中に，１から９までの番号を１つずつ書いた９枚のカードが入っている。ただし，異なるカードには異なる番号が書かれているものとする。この箱から２枚のカードを同時に選び，小さい方の数をＸとする。これらのカードを箱に戻して，再び２枚のカードを同時に選び，小さい方の数をＹとする。Ｘ＝Ｙである確率を求めよ。
YouTube
YouTubeでも解説しています。よろしければ、動画もご活用ください。
数学のコツ壺（nでなくても実験)
n などの文字であれば、2とか3とかの場合で実験してみようという発想は易しいですが、「9」などであってもやりづらいなと感じた場合には同じように実験してみましょう。
実験のコツは、一般性を探りながら行うことです。一般性に気づいたらそれ以上する必要ありません。
ここでは、カードが3枚の場合から実験してみます。
１から3の番号の3枚のカードが入っているとき
(i) $ X=Y=1 $ となるとき(確率を $P_1$ とする)
$ X=1 $ となるのは、3枚から2枚のカードを取り出したとき、1 のカードを必ず取り出しもう一枚が2か3のときの2通りある。
$ Y=1 $ となるのも全く同様なので、
\[ P_1=\displaystyle(\frac{2}{_3C_2})^2 \]
(ii) $ X=Y=2 $ となるとき(確率を $P_2$ とする)
$ X=2 $ となるのは、3枚から2枚のカードを取り出したとき、2 のカードを必ず取り出しもう一枚が3のときの1通りある。
$ Y=2 $ となるのも全く同様なので、
\[ P_2=\displaystyle(\frac{1}{_3C_2})^2 \]
(i),(ii)を合わせたものが、カードが3枚のときの実験結果になります。 9枚のときどうなるか気が付けば、実験は終了です。
１から4の番号の4枚のカードが入っているとき
(i) $ X=Y=1 $ となるとき(確率を $P_1$ とする)
$ X=1 $ となるのは、4枚から2枚のカードを取り出したとき、1 のカードを必ず取り出しもう一枚が2か3か4のときの3通りある。
$ Y=1 $ となるのも全く同様なので、
\[ P_1=\displaystyle(\frac{3}{_4C_2})^2 \]
(ii) $ X=Y=2 $ となるとき(確率を $P_2$ とする)
$ X=2 $ となるのは、4枚から2枚のカードを取り出したとき、2 のカードを必ず取り出しもう一枚が3か4のときの2通りある。
$ Y=2 $ となるのも全く同様なので、
\[ P_2=\displaystyle(\frac{2}{_4C_2})^2 \]
（青文字のところが、もう一枚が「1,2 以外の2通り」あると考えられれば、$X=k$ のときも式化できそうですね）
(iii) $ X=Y=3 $ となるときも同じようにして
\[ P_3=\displaystyle(\frac{1}{_4C_2})^2 \]
実験は一般性がわかったら終了です。それ以上やる必要ありません（試験時間も足りなくなってしまいます）。「9個のときだとまだわからないなぁ」という場合は、5枚のカードでも一般性を探りながら実験しましょう。
ブログ上では細かく言葉も書いていますが、実験は自分だけわかればよいので不要です。ぜひ自分で鉛筆やペンを使って実験してみましょう。
解答
(i) $ X=Y=1 $ となるとき(確率を $P_1$ などとする)
$ X=1 $ となるのは、9枚から2枚のカードを取り出したとき、1 のカードを必ず取り出しもう一枚が2から9のときの8通りある。
$ Y=1 $ となるのも全く同様なので、
\[ P_1=\displaystyle(\frac{8}{_9C_2})^2 \]
(ii) $ X=2 $ となるのは、9枚から2枚のカードを取り出したとき、2のカードを必ず取り出しもう一枚が3から9のときの7通りある。
$ Y=2 $ となるのも全く同様なので、
\[ P_2=\displaystyle(\frac{7}{_9C_2})^2 \]
$ X \geqq 3 $のときも同様にして、求める確率は
\begin{eqnarray}
P_1 + P_2 + \cdots + P_8 &=& \frac{8^2+7^2+ \cdots + 1^2}{(_9C_2)^2} \\
&=& \frac{ \displaystyle \sum^8_{k=1} k^2}{\displaystyle(\frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1})^2} \\
&=& \frac{ \displaystyle \frac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6}}{9 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 4} \\
&=& \frac{4 \cdot 3 \cdot 17}{9 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 4} \\
&=& \frac{17}{3 \cdot 9 \cdot 4} \\
&=& \frac{17}{108} \hspace{5mm} \cdots (\mbox{答})
\end{eqnarray}
コメント