クライマックスシリーズの確率(反復試行の確率)

確率

2015.10.152018.10.15

プロ野球のクライマックスシリーズファイナルステージを題材にした確率の問題です。

シーズン1位のチームが優勝する確率、3位のチームが下剋上で優勝する確率はいくらになるのでしょうか？

引き分けなどは考慮していませんし、もしかするとルールを正しく把握できていないかもしれませんので、なにかあればそっとコメントしてください。

では、問題です。

問．Aチームは先に3勝、Bチームは先に4勝すると優勝するスポーツがある。両チームの勝つ確率が同じとき、次の問いに答えよ。ただし、引き分けはないものとする。
（１）最終第6戦で優勝が決まる確率を求めよ。
（２）Aチームが優勝する確率を求めよ。

反復試行の確率の問題です。
【ポイント】優勝がきまる直前の状態を考えて、場合分けを行う。

【公式確認】反復試行の確率
　n回の試行で、常に確率pで起こる事象がr回起こる確率
$\hspace*{20pt}\begin{eqnarray} {}_n C _r \end{eqnarray}p^r (1-p)^{n-r} }$

しかし、公式以上に確率で大切なのは
【作戦】サンプルをつくって、実験する
ことです。

【YouTube動画による解説】

【解答】
(１) 第6戦で優勝が決まるのは、第5戦終了時にAの2勝3敗になっている場合であるから
$\hspace*{20pt}\begin{eqnarray} {}_5 C _2 \end{eqnarray}(\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^3=\frac{5}{16} }$

(２)
i) Aが2勝して、第3戦にAが勝つ場合
$\hspace*{20pt}(\frac{1}{2})^2\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$

ii) Aの2勝1敗でむかえた第4戦にAが勝つ場合
$\hspace*{20pt}\begin{eqnarray} {}_3 C _2 \end{eqnarray}(\frac{1}{2})^2 \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{3\times2}{2\times1}\times\frac{1}{16}=\frac{3}{16} }$

iii) Aの2勝2敗でむかえた第5戦にAが勝つ場合
$\hspace*{20pt}\begin{eqnarray} {}_4 C _2 \end{eqnarray}(\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^2\times\frac{1}{2}=\frac{4\times3}{2\times1}\times\frac{1}{32}=\frac{3}{16} }$

iv) Aの2勝3敗でむかえた第6戦にAが勝つ場合
$\hspace*{20pt}\frac{5}{16}\times\frac{1}{2}=\frac{5}{32} }$

i)～iv)より、Aが優勝する確率は
$\hspace*{20pt}\frac{1}{8}+\frac{3}{16}+\frac{3}{16}+\frac{5}{32}=\frac{21}{32} }$

21÷32を計算すると0.656ほどなので、Bチームが優勝する確率は34.4%。ファーストステージも合わせると、下剋上する確率はこの半分になって17.2%に計算上はなります。