問題
四次方程式 $ x^4 − 8x^3 + cx^2 + 4x − 6 = 0 \ (c \mbox{は定数}) $ の四つの解を $ \alpha, \ \beta, \ \gamma, \ \delta $ とする。
二つの解 $ \alpha $ と $ \beta $ の積が $ \alpha \beta = \sqrt{2} $ であるとき，
\[ \gamma ^2 \delta ^2 = \bbox[2px, border: 3px solid black]{アイ} \]
であり，
\[ \gamma + \delta = \bbox[2px, border: 3px solid black]{ウ} − \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\bbox[2px, border: 3px solid black]{エ}} \]
である。また，このとき
\[ c = \displaystyle \frac{\bbox[2px, border: 3px solid black]{オカ}}{\bbox[2px, border: 3px solid black]{キ}} \]
である。
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数学のコツ壺
解と係数の関係は「因数分解」形から作る
2次方程式なら
\[ ax^2+bx+c=a(x-\alpha )(x- \beta) \]
の両辺を $a(\neq 0) $ で割って右辺を展開した
\[ x^2+\displaystyle \frac{b}{a}x+\displaystyle \frac{c}{a}=x^2-(\alpha +\beta)x+\alpha \beta \]
の辺々を係数比較して
\[ \alpha +\beta= -\displaystyle \frac{b}{a}, \ \alpha \beta =\displaystyle \frac{c}{a} \]
3次方程式なら
\[ ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha )(x- \beta)(x- \gamma) \]
の両辺を $a(\neq 0) $ で割って右辺を展開した
\[ x^3+\displaystyle \frac{b}{a}x^2+\displaystyle \frac{c}{a}x+\displaystyle \frac{d}{a}=x^3-(\alpha +\beta +\gamma)x^2+(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha)x – \alpha \beta \gamma \]
の辺々を係数比較して
\[ \alpha +\beta +\gamma= -\displaystyle \frac{b}{a}, \ \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha=\displaystyle \frac{c}{a}, \ \alpha \beta \gamma = -\displaystyle \frac{d}{a}\]
4次方程式になると計算が複雑になるので、そこをどうするかが速く正確に解くポイントになりそうです。
置き換え
実は途中で「置き換え」ることができると、圧倒的に簡単に計算できます。しかし、思いつけるかが難しく、試験時間中はそのまま計算しそう。
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解答
２次式ずつのセットにすると
$ \alpha $ と $ \beta $ の積が与えられて、求めるものも $\gamma^2 \delta^2$ や $\gamma + \delta$ なので、4次式を(2次式)×(2次式)に変形してみます。
\[ (x-\alpha )(x- \beta)(x- \gamma)(x- \delta )=\{ x^2-(\alpha + \beta )x+\alpha \beta \}\{ x^2-(\gamma+ \delta )x+\gamma \delta \} \ \cdots \mbox{①} \]
と変形できるが, ここで
\[ \alpha + \beta =A, \ \alpha \beta =B, \ \gamma+ \delta=C, \ \gamma \delta=D \]
とおくと
\begin{eqnarray}
\mbox{①} &=& (x^2-Ax+B)(x^2-Cx+D) \\
&=& x^4-(A+C)x^3+(B+D+AC)x^2-(BC+AD)x+BD
\end{eqnarray}
と変形できるので, 与式の左辺と係数比較して
\[ \left\{
\begin{array}{l}
A+C &=& 8 \hspace{10mm} \cdots \mbox{②} \\
B+D+AC &=& c \hspace{10mm} \cdots \mbox{③} \\
BC+AD &=&-4 \hspace{5mm} \cdots \mbox{④} \\
BD &=& -6 \hspace{5mm} \cdots \mbox{⑤} \\
\end{array}
\right.
\]
$ \alpha \beta = B=\sqrt{2} $ を⑤に代入して
\[ \sqrt{2}D=-6 \]
すなわち
\[ D=-3\sqrt{2} \]
これより
\[ \gamma ^2 \delta ^2 = D^2 = \bbox[2px, border: 3px solid black]{18} \]
次に④に $B,D $ の値を代入して
\begin{eqnarray}
\sqrt{2}C-3\sqrt{2}A &=& -4 \\
3A-C &=& 2\sqrt{2} \hspace{5mm} \cdots \mbox{④’}\\
\end{eqnarray}
①とから
\[ A= 2+\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \gamma+ \delta=C=\bbox[2px, border: 3px solid black]{6} − \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\bbox[2px, border: 3px solid black]{2}} \]
③とから
\begin{eqnarray}
c&=&\sqrt{2}-3\sqrt{2}+\displaystyle \left(2+ \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \displaystyle \left(6- \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \\
&=& -2 \sqrt{2} +12 -\sqrt{2} +3\sqrt{2}-\displaystyle \frac{1}{2} \\
&=& \displaystyle \frac{\bbox[2px, border: 3px solid black]{23}}{\bbox[2px, border: 3px solid black]{2}}
\end{eqnarray}
対称性を考慮してバラバラに展開すると
上の方法は「置き換え」なくてもまったく同じようにできますが、因数分解形の4次式を完全に展開すると次のように計算量がかなり増えます。
$(x-\alpha )(x- \beta)(x- \gamma)(x- \delta ) $
\begin{eqnarray}
&=& x^4-(\alpha + \beta + \gamma + \delta )x^3+(\alpha \beta+\beta \gamma +\gamma \delta +\delta \alpha +\alpha \gamma +\beta \delta )x^2 \\
& & -(\alpha \beta \gamma +\beta \gamma \delta +\gamma \delta \alpha +\delta \alpha \beta )x+ \alpha \beta \gamma \delta
\end{eqnarray}
と変形できるので, 与式の左辺と係数比較して
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\alpha + \beta + \gamma + \delta &=& 8 \hspace{10mm} \cdots \mbox{⑥} \\
\alpha \beta+\beta \gamma +\gamma \delta +\delta \alpha +\alpha \gamma +\beta \delta &=& c \hspace{10mm} \cdots \mbox{⑦} \\
\alpha \beta \gamma +\beta \gamma \delta +\gamma \delta \alpha +\delta \alpha \beta &=&-4 \hspace{5mm} \cdots \mbox{⑧} \\
\alpha \beta \gamma \delta &=& -6 \hspace{5mm} \cdots \mbox{⑨} \\
\end{array}
\right.
\]
$ \alpha \beta =\sqrt{2} $ を⑨に代入して
\[ \sqrt{2}\gamma \delta=-6 \]
すなわち
\[ \gamma \delta=-3\sqrt{2} \]
これより
\[ \gamma ^2 \delta ^2 = \bbox[2px, border: 3px solid black]{18} \]
次に, $ \alpha \beta =\sqrt{2}, \ \gamma \delta=-3\sqrt{2} $ を⑧に代入して
\begin{eqnarray}
\sqrt{2} \gamma -3\sqrt{2}\beta -3\sqrt{2} \alpha +\sqrt{2}\delta &=&-4 \\
\gamma -3\beta -3\alpha +\delta &=&-2\sqrt{2} \\
3(\alpha+\beta) -(\gamma +\delta) &=&2\sqrt{2} \hspace{5mm} \cdots \mbox{⑧’}
\end{eqnarray}
⑥＋⑧’ より
\begin{eqnarray}
4(\alpha+\beta) &=& 8+2\sqrt{2} \\
\alpha+\beta &=& 2+\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{eqnarray}
⑥に代入すると
\[ 2+\frac{\sqrt{2}}{2}+ \gamma + \delta = 8 \]
これより
\[ \gamma + \delta = \bbox[2px, border: 3px solid black]{6} − \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\bbox[2px, border: 3px solid black]{2}} \]
このとき, ⑦より
\begin{eqnarray}
c &=& \sqrt{2}+\beta \gamma +-3\sqrt{2} +\delta \alpha +\alpha \gamma +\beta \delta \hspace{5mm} (\because \alpha \beta =\sqrt{2}, \ \gamma \delta=-3\sqrt{2}) \\
&=& \beta \gamma +\alpha \gamma +\delta \alpha +\beta \delta -2\sqrt{2} \\
&=& \gamma (\alpha +\beta) +\delta (\alpha +\beta) -2\sqrt{2} \\
&=& (\alpha +\beta)(\gamma +\delta) -2\sqrt{2} \\
&=& (2+\frac{\sqrt{2}}{2})(6-\frac{\sqrt{2}}{2}) -2\sqrt{2} \\
&=& 12-\sqrt{2}+3\sqrt{2}-\frac{1}{2} -2\sqrt{2} \\
&=& \frac{\bbox[2px, border: 3px solid black]{23}}{\bbox[2px, border: 3px solid black]{2}}
\end{eqnarray}
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