ホームゲームでの勝率が高いと日本シリーズはどうなる？（2021岡山大-文系）

問題

$2$ つのチーム S と T が野球の試合を繰り返し行い，先に $4$ 勝したチームを優勝とする。第 $1, \ 2, \ 6, \ 7 $ 戦は S のホームゲームであり，第 $3, \ 4, \ 5 $ 戦は T のホームゲームである。S のホームゲームで S が勝つ確率は $ \displaystyle \frac{3}{5} $ であり, T のホームゲームで T が勝つ確率は $ \displaystyle \frac{5}{6} $とする。各試合で引き分けはないものとするとき，
(1)　どちらかの優勝が決まるまでに S が $1$ 勝以上する確率を求めよ。
(2)　T のホームゲームで T が優勝する確率を求めよ。
(3)　第 $1, \ 2$ 戦とも S が勝ち，かつ S が優勝する確率を求めよ．

解説

数値が $ \frac{3}{5} $ や $\frac{5}{6} $ になるだけで、意外に計算が面倒になります。

と偉そうに言っていますが、(3) の計算を何度も間違いました…。

反復試行の確率が不安だったり、よくわからないという人は、勝つ確率が2チームとも同じ場合の問題を用意していますので、まずはそちらをご覧ください。

数学のコツ壺

優勝する直前の状態を考えるというセオリーに沿って解いていきますが、計算量を減らす工夫として余事象を使います。

余事象…不安ならベン図描いて確認

S の本拠地スタートで T とプロ野球の日本シリーズを戦う。本拠地での勝率を S は $\frac{3}{5} $, T は $\frac{5}{6} $ とするとき, S が 1, 2 戦に勝って優勝する確率を求めよ。