3文字の一次不定方程式の解き方を合同式でパターン化しておきたいなら

当ブログでは、2文字の一次不定方程式すなわち2元一次不定方程式の一般解を求める方法として合同式を使って解説しています。YouTubeもあわせてたくさん見ていただきありがとうございます。

文字が一つ増えて3文字の一次不定方程式になっても合同式は使えますので、このページで解説します。

問題
方針・・・係数の公約数に着目
解答
【別解(方針)】一番小さな係数に着目
1. 別解
Youtube動画解説
練習問題

問題

【問題】次の一次不定方程式の整数解を求めよ。
（１）$ 6x+9y+10z=3 $
（２a）$ 5x+10y+13z=2 $
（２b）$ 15x+10y+13z=2 $
（３）$ 2x+3y+5z=7 $

方針・・・係数の公約数に着目

（i) 互いに素ではない係数を見つけその公約数を法とする合同式をたてると、あぶれた文字の一般解を求めることができる。

(i-a) 互いに素でない係数の組が2つ以上のときは、一般解が2つ求まるので元の式に代入して残りの一般解を求める。

(1-b) 互いに素でない係数の組が1つ以下のときは、一般解が1つ求まるので元の式に代入する。すると2元一次不定方程式に帰着される。未知数の係数が1のときは、もう一方を$m$などと置くことで係数1の未知数も整数になるものが決まる。そうでない場合は、1つ求めた一般解のパラメーター$k$を文字定数とみて2元一次不定方程式の一般解を解く。

解答

（１）$ 6x+9y+10z=3 \hspace{10mm} \cdots \mbox{①}$

6と10の公約数2を法とする合同式を考えると、$9=2\times4+1$ などから \[ y\mbox{≡}1 \hspace{5mm} \pmod{2} \] と変形できるが、これは$y$を2で割ったときの余りが1であることを意味するので \[ y=2k+1 \hspace{5mm} (k\mbox{は整数}) \] と表せる。
同様に、6と9の公約数3を法とする合同式を考えると \[ z\mbox{≡}0 \hspace{5mm} \pmod{3} \] と変形できるので \[ z=3m \hspace{5mm} (m\mbox{は整数}) \] と表せる。これらを①に代入すると \begin{eqnarray} 6x+9(2k+1)+10\cdot 3m=3 \\ 6x+9\cdot 2k +6 +10\cdot 3m =0 \\ x+3k+5m+1=0 \\ x=-3k-5m-1\end{eqnarray} 以上より \[ (x,y,z)=(-3k-5m-1,2k+1,3m) \hspace{5mm} (k,m \mbox{は整数}) \hspace{5mm} \mbox{(答)} \]

（２a）$ 5x+10y+13z=2 \hspace{10mm} \cdots \mbox{②}$

5と10の公約数5を法とする合同式を考えると、$13=5\times2+3$ あるいは $13=5\times3-2$ であることから \[ 3z\mbox{≡}2 \hspace{5mm} \pmod{5} \] あるいは \[ -2z\mbox{≡}2 \hspace{5mm} \pmod{5} \] と変形できるので、辺々加えると \[ z\mbox{≡}4 \hspace{5mm} \pmod{5} \] となるが、これは$z$を5で割ったときの余りが4であることを意味するので \[ z=5k-1 \hspace{5mm} (k\mbox{は整数}) \] と表せる。
これを②に代入すると \begin{eqnarray} 5x+10y+13(5k-1)=2 \\ 5x+10y+13\cdot 5k -15=0 \\ x+2y+13k-3=0\cdots \mbox{③}\end{eqnarray} ここで、$ y=m (m \mbox{は整数} ) $とすると、$x$も整数になる。
以上より \[ (x,y,z)=(-2m-13k+3,m,5k-1) \hspace{5mm} (k,m \mbox{は整数}) \hspace{5mm} \mbox{(答)} \]

この問題では$x$の係数が1になったので、与式に代入してほぼ一直線に解くことができたのですが、$x$の係数が$1$や$-1$以外になった場合はどうなるのでしょうか。例えば③の式が
\[3x+2y+13k-3=0 \] となった場合です。それが(2b)の問題ですが、$k$はあくまで文字定数なので二元の一次不定方程式を解くことになります。

（２b）$ 15x+10y+13z=2 \hspace{10mm} \cdots \mbox{④}$

5と10の公約数5を法とする合同式を考えると、

\[ 3z\mbox{≡}2 \hspace{5mm} \pmod{5} \] あるいは \[ -2z\mbox{≡}2 \hspace{5mm} \pmod{5} \] と変形できるので、辺々加えると \[ z\mbox{≡}4 \hspace{5mm} \pmod{5} \] となるが、これは$z$を5で割ったときの余りが4であることを意味するので \[ z=5k-1 \hspace{5mm} (k\mbox{は整数}) \] と表せる。
これを④に代入すると \begin{eqnarray} 15x+10y+13(5k-1)=2 \\ 15x+10y+13\cdot 5k -15=0 \end{eqnarray} \[3x+2y=-13k+3(k\mbox{は整数})\hspace{10mm} \cdots \mbox{⑤} \] ここで、2を法とする合同式を考えると \[ x\mbox{≡}k+1 \pmod{2} \] と変形できるので \[ x=2m+k+1 \hspace{5mm} (m \mbox{は整数}) \] と表せる。
⑤に代入して \begin{eqnarray} 3(2m+k+1)+2y=-13k+3 \\ 3\cdot 2m+3k+13k+2y=0 \\ 3m+8k+y=0\\ y=-8k-3m \end{eqnarray}以上より \[ (x,y,z)=(2m+k+1,-8k-3m,5k-1) \hspace{5mm} (k,m \mbox{は整数}) \hspace{5mm} \mbox{(答)} \]

（３）$ 2x+3y+5z=7 \hspace{10mm} \cdots \mbox{⑥}$

2を法とする合同式を考えると、 \[ y+z \mbox{≡}1 \hspace{5mm} \pmod{2} \] となるが、これは$y+z$を2で割ったときの余りが1であることを意味するので \[ y+z=2k+1 \hspace{5mm} (k\mbox{は整数}) \cdots \mbox{⑦} \] と表せる。ここで$y=m (m\mbox{は整数})$ とおくと⑦とから \[ z=-m+2k+1 \] となり $ z $ も整数となる。これらを⑥に代入すると\begin{eqnarray} 2x+3m+5(-m+2k+1)=7 \\ 2x-2m+5\cdot 2k=2 \\ x=m+5k+1\end{eqnarray} 以上より \[ (x,y,z)=(m+5k+1,m,-m+2k+1) \hspace{5mm} (k,m \mbox{は整数}) \hspace{5mm} \mbox{(答)} \]

【別解(方針)】一番小さな係数に着目

二文字のときの一次不定方程式のときと同様に、一番小さな係数を法にする合同式を立てることでも解けます。

(2a) と (3) は結局同じ合同式を立てることになるので、(1) と (2b) についてこの方針で解いてみます。

別解

（１）$ 6x+9y+10z=3 \hspace{10mm} \cdots \mbox{①}$
6を法とする合同式を考えると、$9=6+3$ 、$10=6\times2-2$ であることから \[ 3y-2z\mbox{≡}3 \hspace{5mm} \pmod{6} \] と変形できるが、これは$3y-2z$を6で割ったときの余りが3であることを意味するので \[ 3y-2z=6k+3 \hspace{5mm} (k\mbox{は整数}) \hspace{10mm} \cdots \mbox{⑧}\] と表せる。ここで、あらためて法を2とする合同式を考えると、$6k\mbox{≡}0$などより \[ y \mbox{≡}1 \hspace{5mm} \pmod{2} \] と変形できる。これより \[ y=2l+1 \hspace{5mm} (l\mbox{は整数}) \] と表せる。⑧に代入すると\begin{eqnarray} 3(2l+1)-2z=6k+3 \\ 3\times2l-2z=6k \\ z=-3k+3l\end{eqnarray} さらに①に代入して\begin{eqnarray}6x+9(2l+1)+10(-3k+3l)=3 \\ 6x+48l-30k=-6 \\ x=5k-8l-1\end{eqnarray} 以上より \[ (x,y,z)=(5k-8l-1,2l+1,-3k+3l) \hspace{5mm} (k,l \mbox{は整数}) \hspace{5mm} \mbox{(答)} \]

（２b）$ 15x+10y+13z=2 \hspace{10mm} \cdots \mbox{④}$

10を法とする合同式を考えると、 \[ 5x+3z\mbox{≡}2 \hspace{5mm} \pmod{10} \] と変形できるが、これは$5x+3z$を10で割ったときの余りが2であることを意味するので \[ 5x+3z=10k+2 \hspace{5mm} (k\mbox{は整数}) \hspace{10mm} \cdots \mbox{⑨}\] と表せる。
ここで、あらためて法を3とする合同式を考えると、$10k\mbox{≡}k$などより \[ -x \mbox{≡}k-1 \hspace{5mm} \pmod{3} \] すなわち\[ x \mbox{≡}-k+1 \hspace{5mm} \pmod{3} \] と変形できるので\[ x=3l-k+1 \hspace{5mm} (l \mbox{は整数}) \] と表せる。これを⑨に代入すると \begin{eqnarray} 5(3l-k+1)+3z=10k+2 \\ 5\times3l-15k+3z=-3 \\ z=5k-5l-1 \end{eqnarray} さらに ④に代入して \begin{eqnarray} 15(3l-k+1)+10y+13(5k-5l-1)=2 \\ 50k-20l+10y=0 \\ y=-5k+2l \end{eqnarray}以上より \[ (x,y,z)=(-k+3l+1,-5k+2l,5k-5l-1) \hspace{5mm} (k,l \mbox{は整数}) \hspace{5mm} \mbox{(答)} \]