「解の配置」苦手な人は、他の可能性を広げるチャンス

例題

$ a $ を定数として, $x$ についての2次方程式 \[ x^2-ax-2a+5=0 \] を考える。
(1) $ x>0 $ の範囲に異なる2つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
(2) $ -1 < x <2 $ の範囲に少なくとも $1$ つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

\[ x^2-ax-2a+5=0 \]

方針

文字定数を分離する。
（１）分数にならないところまで分離する \[ x^2+5=a(x+2) \] → 簡単な2次関数 $ y=x^2+5 $ に $ y=a(x+2) $ というちょっと難しい直線を重ねて動かす （２）$a$ だけ残して完全に分離する \[ \frac{x^2+5}{x+2}=a \] → ごっつい感じの分数関数 $ y=\displaystyle \frac{x^2+5}{x+2} $ に $ y=a $ というわかりやすい直線を重ねて動かす

• 引き算は後ろが基準

$ y=m(x-a)+b $ は $y-b=m(x-a) $ と見て、点 $(a, \, b) $ から(における)傾き $m$ の直線を描く。

(1)解答

\[ x^2-ax-2a+5=0 \hspace{5mm} \cdots \mbox{①} \] は \[ x^2+5=a(x+2) \] と変形できるので、 \[ y=x^2+5 \hspace{5mm} \cdots \mbox{②} \] と \[ y=a(x+2) \hspace{5mm} \cdots \mbox{③} \] の交点の $x$座標を考えるとよい。
ここで、①の判別式をDとすると \begin{eqnarray} D &=& a^2-4(-2a+5) \\ &=& a^2+8a-20 \\ &=& (a+10)(a-2) \end{eqnarray} となるので、①が実数解をもつのは \[ a \leqq -10 \, \mbox{または} 2 \leqq a \] のときで、このとき①と②は交点を持つが、$x>0$で交わるのは \[ 2 \leqq a \] のときに限られ、②と③が異なる2点で交わるのは、③の傾き $a $が \[ x>0 \mbox{で接するときより大きく、}(0,5)\mbox{を通るときより小さい} \] とき。 すなわち \[ 2 < a < \frac{5}{2} \hspace{5mm} (\mbox{答})\]

(2)解答

（１）と同様にして \[ y=x^2+5 \hspace{5mm} \cdots \mbox{②} \] と \[ y=a(x+2) \hspace{5mm} \cdots \mbox{③} \] の交点の $x$座標を考える。 ③が②と $x=-1$で交わるとき \[ a(-1+2)=(-1)^2+5 \ \mbox{より} \ a=6 \] $x=2$で交わるとき \[ a(2+2)=2^2+5 \hspace{3mm} \mbox{より} \hspace{3mm} a=\frac{9}{4} \] であるから、求める条件は、③の傾き $a$ が \[ x>0 \mbox{で接するとき以上で、} (-1,6) \mbox{を通るときより小さい} \] とき。 すなわち \[ 2 \leqq a < 6 \hspace{5mm} (\mbox{答}) \]

• 分子の次数を下げる

分子を分母で割って、分子の次数を下げる

分数関数

$y=\displaystyle \frac{1}{x}, \, y=\displaystyle \frac{3}{x}, \, y=\displaystyle \frac{9}{x} $ のグラフは下図のようになります。
$y=\displaystyle \frac{9}{x+2}$のグラフは、点$(-2, \, 0)$から$y=\displaystyle \frac{9}{x}$を描きます。「引き算はうしろが基準」です。 $ y=x-2+\displaystyle \frac{9}{x+2} $ は、上の赤色の曲線に $y=x-2$ を加えたものです。先に直線を引くほうが描きやすいです。 $x$ が大きいと分数は0に近くなるので、だんだん点線の直線に近づいて行きます(数Ⅲで習う「漸近線」です)。 極小値は、微分して増減表をかくことになるのですが、穴埋めであれば分母の $x+2$ が正になる区間での最小値を求めればよいので、$x>-2 $で相加相乗平均をつかって \begin{eqnarray} x-2+\displaystyle \frac{9}{x+2} &=& x+2 +\displaystyle \frac{9}{x+2} -4 \\ & \geqq & 2 \sqrt{(x+2) \cdot \displaystyle \frac{9}{x+2}} -4 \\ &=& 2 \cdot 3 -4 \\ &=& 2 \end{eqnarray} 等号は \[ x+2=\displaystyle \frac{9}{x+2} \ \mbox{すなわち} (x+2)^2=9 \] $x>-2$ とから $x=1$ のとき成立。 これらより、$x=1$のときに極小値2を取ることがわかります。

【準公式】$ \{(x+a)^n \}’=n(x+a)^{n-1}　\ (n $ は0以外の整数)

$ \displaystyle \frac{1}{x+a}=(x+a)^{-1} $ なので \begin{eqnarray} \{ (x+a)^{-1} \}’ &=& -1(x+a)^{-2} \\ &=& -\frac{1}{(x+a)^2} \end{eqnarray} すなわち \[ \{ (x+a)^{-1} \}’=-\frac{1}{(x+a)^2} \] となります。この公式は積分で \[ \int (x-a)^n dx = \frac{1}{n+1}(x-a)^{n+1}+C \ (C \mbox{は積分定数} ) \] として使うことが多いですね。

(2)解答

\[ x^2-ax-2a+5=0 \hspace{5mm} \cdots \mbox{①} \] は \[ x^2+5=a(x+2) \] と変形できるが、上式において $x=-2$とすると \[ 9=0 \] となり不合理。よって、①は $x=-2$を解にもたず \[ \frac{x^2+5}{x+2}=a \] と変形できる。ここで $x^2+5$ を $x+2$ で割ることで \[ x^2+5=(x+2)(x-2)+9 \] となることから \begin{eqnarray} \frac{x^2+5}{x+2} &=& \frac{(x+2)(x-2)+9}{x+2} \\ &=& x-2 + \frac{9}{x+2} \ (=f(x) \mbox{とおく} ) \end{eqnarray} と変形できる。ここで \begin{eqnarray} f'(x) &=& 1 -\frac{9}{(x+2)^2} \\ &=& \frac{(x+2)^2-9}{(x+2)^2} \\ &=& \frac{ \{(x+2)+3\} \{(x+2)-3\}}{(x+2)^2} \\ &=& \frac{ (x+5)(x-1)}{(x+2)^2} \end{eqnarray} これより増減表は \begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c} \hline x&\cdots & -5 & \cdots & -2 & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline y’& + & 0 & – & & – & 0 & +\\ \hline y &\nearrow &-10&\searrow& &\searrow &2&\nearrow\\ \hline \end{array} となるので、$y=f(x)$ のグラフは下図実践部のようになる。 （１）$ x>0 $ の範囲に異なる2つの実数解をもつような $a$ の値の範囲は、直線 $y=a$ が $x>0$ で2交点をもつときを考えて \[ 2 < a < \frac{5}{2} \hspace{5mm} (\mbox{答})\] を得る。 (2) $ -1 < x <2 $ の範囲に少なくとも $1$ つ交点をもつときを考えると \[ f(-1)=6, f(2)=\frac{9}{4} \] とから \[ 2 \leqq a < 6 \hspace{5mm} (\mbox{答}) \] を得る。