【基礎】4人の女子と2人の男子で作る円順列

【問】4人の女子と2人の男子の計6人が手をつないで輪を作るとき

(1)男子2人が隣り合うのは何通りあるか。

(2)男子2人が向かい合うのは何通りあるか。

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YouTube動画解説

動画による解説をYouTubeにアップしていますので、よろしければご参考に。

円順列はなぜ(n-1)!なの?

(1)解答「隣り合う」はひとまとめにして、あとから並べ替える

(1)隣り合う男子を1組として、女子4人とで円順列を考えると

\[ (5-1)!=4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 =24 \mbox{(通り)} \]

それぞれの場合に関して、男子の並べ替え分を考えて

\[ 24 \cdot 2! =48 \mbox{(通り)} \hspace{2cm} \cdots
\mbox{(答)} \]

【(2)方針】男子に着目?女子に着目?

【コツ壺】少ない方に着目する

男子に着目するか、女子に着目するか?

どちらに着目してもできますが、セオリーとしては数の少ない方に着目します。

【(2)解答1】まず男子2人を並べる

男子2人が向かい合うように固定すると、残った4か所に4人の女子を並べると良いので

\[4!=24
\mbox{(通り)} \hspace{2cm} \cdots
\mbox{(答)} \]

【(2)解答2】まず女子を並べる

女子4人で円順列をつくると

\[(4-1)!=6
\mbox{(通り)}
\]

ここである女子に着目すると、男子の配置は、その女子の右とその向かい側か、その女子の左とその向かい側の2通りがあり、さらに男子2人の並べ替え分があるので、

\[6 \times 2 \times 2=24
\mbox{(通り)} \hspace{2cm} \cdots
\mbox{(答)} \]

【(2)解答3】 女子4人と男子1人で並べる

女子4人と男子1人の5人で円順列と作ると、残りの男子の並ぶ場所は自動的に決まるので

\[(5-1)! \times 1=24
\mbox{(通り)} \hspace{2cm} \cdots
\mbox{(答)} \]

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