日本シリーズ（ワールドシリーズ）の確率（反復試行と条件付き確率）

アメリカではワールドシリーズ、日本では日本シリーズ。これらでプロ野球も見納めとなるわけですが、きょうは条件付き確率の問題を考えてみましょう。

【問題】XチームとYチームが試合を行い、先に4勝したほうが優勝するスポーツがある。互いに勝つ確率は等しく、引き分けはないものとして次の問いに答えよ。
（１）第7戦で優勝チームが決まる確率を求めよ。
（２）Xチームが第1戦と第2戦に負けて、優勝する確率を求めよ。
（３）Xチームが第1戦と第2戦に負けるとき、Xチームが優勝する条件つき確率を求めよ。
（４）Xチームが優勝したとき、Xチームが第1戦と第2戦に負けている条件つき確率を求めよ。
答だけ確認したい場合は、目次から答に進んでください。

YouTube動画

YouTubeでは19分半ほどの動画で解説をご覧いただけます（倍速にすると10分ほどです）。

条件付き確率の公式

いちおう、条件つき確率の公式を確認しておきます。
【公式】事象Aのもとでの, 事象Bの条件付き確率（事象Aが起こった条件のもとで, 事象Bが起こる確率）

分数（割り算）は分母が基準

考え方として
【考え方のポイント】分数（割り算）は分母が基準
になることも少なくありません。

全体Uを基準として確率を考えることがほとんどですが、条件付き確率は比べる基準が変わります。事象Aのもとでの事象Bの条件付き確率はAを基準としてBが起こる確率を考えます。

どちらも「AとBの重なった部分の占める割合はいくらですか？」と聞いていますが、多くの場合の確率では「全体Uに対して」であり、事象Aのもとでの事象Bの条件付き確率では「事象A」に対してなので、数値自体は「全体Uに対して」の場合よりも大きくなります。

適切でないかもしれないですが、面積を比べることで考えてみましょう。

北海道の面積は約8万平方キロ、日本の面積は約38万平方キロなので、日本の面積を基準にすると北海道の面積は約21%。

基準を日本ではなく、東日本にすると（東西を半分にしたとして）北海道の面積は約42%と数字的には倍になります。

条件付き確率とは離れてしまいますが、面積1億5千万平方キロの世界を基準にすると、北海道の面積が占める割合は0.00053%。

基準が何なのかを追うと、公式にとらわれずに解ける場合があります。この問題もそうです。

反復試行の確率が全くわからない場合は、【基礎】反復試行の確率をご覧ください。

答

\[
(1) \frac{5}{16} \hspace{2mm} (2) \frac{3}{64} \hspace{2mm} (3) \frac{3}{16} \hspace{2mm} (4) \frac{3}{32}
\]

解説・解答

（１）の解答

第6戦終了時に3勝3敗となればよいので
\[
\begin{eqnarray}
{}_6 \mathrm{ C }_3
\end{eqnarray}(\frac{1}{2})^3(\frac{1}{2})^3=\frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}=\frac{5}{16}
\]

百分率に直すと31.25%です。第6戦で優勝が決まる確率も同じなので確認してみてください。

（２）の解答

Xチームは、2連敗したあと、4連勝するか、3勝1敗として次の試合に勝つとよいので

\begin{align*}
(\frac{1}{2})^2 \cdot \{ (\frac{1}{2})^4 + {}_4 \mathrm{ C }_1 (\frac{1}{2})^3 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \}
& = \frac{1}{4} \cdot \{ (\frac{1}{2})^4 + 4 (\frac{1}{2})^4 \cdot \frac{1}{2} \} \\
& = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{16} \\
& = \frac{3}{64}
\end{align*}

（３）の解答

Xが第1戦第2戦と2連敗する確率をP(A), Xが優勝する確率をP(B)とすると,
Xチームが第1戦と第2戦に負けるときXチームが優勝する条件つき確率P _A(B)は
\[
P {}_A(B)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}
\]
であるが, （２）の結果および過程より
\[
P(A \cap B)=\frac{3}{64}, \hspace{3mm} P(A)=\frac{1}{4}
\]
なので

\[
P {}_A(B)=\frac{\frac{3}{64}}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{3}{64} \times 4}{\frac{1}{4} \times 4}=\frac{3}{16}
\]

（４）の解答

Xチームが優勝するとき、Xチームが第1戦と第2戦に負ける条件つき確率P _B(A)は
\[
P {}_B(A)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}
\]
であるが, XチームとYチームの勝つ確率は等しいので
\[
P {}_B(A)=\frac{\frac{3}{64}}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{3}{64} \times 2}{\frac{1}{2} \times 2}=\frac{3}{32}
\]