Chat GPT もGemini も正解できなかった、組み合わせの問題です。
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ポイントは重複の解消
ダブルカウントしているものを見つけられるかが、ポイントになります。
重複の解消
解答らしきもの
Chat GTP も Gemini もこんな解答でした。AIがひっかかってしまうくらいだから、簡単そうに見えるけど実はむずかしいのです。間違ってしまった人も、まずは落ち着きましょう。
サンプルをつくって実験してみましょう。
- サンプルを作って実験しよう
の6通りあるが、自動的にできる選ばなかった2人も書き出すと
左の上からと、右の下からを比較すればまったく同じ6通りの選びかたであることがわかります。
$ _4 \mathrm{C} _2 $ 通りではダブルカウントしてしまっていることになるんですね。では、どうするか？
【方針１】グループにいったん名前を付ける
左側の6通りの選び方を1組,選ばれなかった右側の6通りを2組とします。
こんどは, 1組と2組は異なるグループなので, 男子2人の選びかたは $ _4 \mathrm{C} _2 $ 通りで重複ありません。
本来は同じグループなので, $2!$ で割ってグループの並べ替え分を解消すればよいのです。
【解答１】
男子4人から2人を選んで、女子4人から2人を選んでAのグループとする組み合わせは \begin{align} _4 \mathrm{C}_2 \cdot _4 \mathrm{C}_2 &= \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \\ &= 36 (\mbox{通り}) \end{align} あり, このとき B のグループの $4$ 人も自動的にきまるが, 2つのグループには区別がないので \[ \frac{36}{2!} = 18(\mbox{通り}) \hspace{5mm} \cdots (\mbox{答}) \]
【方針2】特定の一人を決める
特定の一人としてA君を必ず選びます。するともう一人の男子の選びかたは3通りありますが、これでもう一方のグループの男子2人も確定します。
これで特定の男子のいるグループと、いないグループという区別のある2つのグループができるので、残りの女子の選びかたは $_4 \mathrm{C} _2 $ (通り) になります。
円順列で考え方を確認しておきましょう
この特定の一人を選んで固定するという考えかたが難しいですが、実は円順列で出てきています。
たとえば A, B, C, D の4人で円順列をつくると、6通りですが
上のようにA, B, C, Dの順に90°ずつ回転すると同じになる4パターンは重複すると考えると式は
になりますが、公式的には
のようになりそうですね。実は、これこそ特定の一人を選んで固定する考えかたです。
上図の一番左の円のように、特定の一人としてAを選んで、円の一番上に固定します。
すると、あとは残り3人を並べるだけなので $ (4-1)! $ 通りになります。
【解答2】特定の男子を決めると
このそれぞれのグループに対して、女子の選びかたが \[ _4 \mathrm{C}_2 = \frac{4 \cdot 3}{\color{yellow}{2 \cdot 1}} =6 (\mbox{通り}) \] あるので、全部で \[ 3 \cdot 6 = 18 \ (\mbox{通り}) \hspace{5mm} \cdots (\mbox{答}) \] ある。
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