方程式 2x + 11y = 5 を満たす整数 x，y のうち，100 < x + y < 500 を満たすのは何組？（日大医2023)

問題

方程式 $2x + 11y = 5$ を満たす整数 $x，y$ のうち，$100 < x + y < 500$ を満たすのは何組？

mod 2 で合同式の変形をしていくと、後半の $x+y$の部分が少しやりにくくなります。

不定方程式の一般解はいろいろな表しかたがあります。

直線 $2x+11y=5$ の上に整数となる点を描き直してみると、別の形の一般解を導くこともできるし、ベクトルの復習にもなります。

解答

$$2x+11y=5 \hspace{5mm} \cdots \mbox{①}$$

において, 2を法とする合同式を考えると

$$y=1 \pmod 2$$

これより

$$y=2k+1 \hspace{3mm} (kは整数)$$

と表せる。これを①に代入すると

$$\begin{eqnarray} 2x+11(2k+1)&=&5 \\ 2x+11 \cdot 2k+11&=&5 \\ 2x+11 \cdot 2k&=&-6 \\ x&=&-11k-3 \end{eqnarray}$$

このとき
$$x+y=(-11k-3)+(2k+1)=-9k-2$$
なので,
$$\begin{eqnarray} 100<-9k-2<500 \\ 102<-9k<502 \\ -\frac{502}{9}<k<-\frac{102}{9} \\ -55.7 \cdots <k<-11.3 \cdots \end{eqnarray}$$

$k$ は整数なので,
$$-55 \leqq k \leqq -12$$

以上より, 求める $x, \hspace{1mm} y$の組は
$$-12-(-55)+1=44 (\mbox{個}) \hspace{5mm} \cdots(\mbox{答})$$
ある。

【別解（考え方)】100<-9k-2<500 のkの係数のマイナスを避けると

$$(x, y) = (-11k-3, 2k+1)$$
を$k$についてまとめ直すと
$$(x, y) = (-3,1) +k(-11,2)$$
とできるが, これは点$(x,y)$ が点$(-3,1)$ を通る方向ベクトル$(-11,2)$ の直線上にあることを意味する。

方向ベクトルの向きが反対になっても元の直線と並行で, かつ 点$(-3,1)$ を通るものは, 元の直線と一致するので
$$(x,y) = (-3,1) +k(11,-2)$$
とも表すことができます。

途中から別解

$$(x, y) = (-11k-3, 2k+1)$$
において, $m=-k$ とおくと
$$(x, y) = (11m-3, -2m+1)$$
このとき
$$x+y=(11m-3)+(-2m+1)=9m-2$$ なので,
$$\begin{eqnarray} 100<9m-2<500 \\ 102<9m<502 \\ \frac{102}{9}<m<\frac{502}{9} \\ 11.3 \cdots <k<55.7 \cdots \end{eqnarray}$$
$ｍ$ は整数なので
$$12 \leqq m \leqq 55$$ 以上より, 求める $x, \hspace{1mm} y$の組は
$$55-12+1=44 (\mbox{個}) \hspace{5mm} \cdots(\mbox{答})$$ ある。

【別解（考え方）】100<-9k-2<500 の-9k-2を等差数列と見る

$100$ や $500$ になるkの値をきっちり計算せずにやります。

$k=-11$とすれば $-9k-2=97$, $k=-55$ とすれば $-9k-2=495-2$, $k=-56$ とすれば $-9k-2=(495-2)+9>500$　となるので, (日大医の入試では不要ですが)記述でも使えるようにするために $-9k-2=S(k)$ とでもして数列として扱ってみます。

【別解（途中から）】

$$S(k) = -9k-2$$
とおくと
$$S(-11)=97, S(-55)=493$$
などより
$$\cdots > S(-56) > 500 >S(-55) > \cdots > S(-12) > 100 >S(-11)$$
なので, 求める個数は
$$-12-(-55)+1=44 (\mbox{個}) \hspace{5mm} \cdots(\mbox{答})$$