【基礎】2次関数と接線がつくる面積

2次関数が関係する面積のうち、接線がからんだ場合の計算を早く行う練習をしましょう。

【問題】曲線C: y=x²-5x+1 上の点A(4,-3) における接線をmとする。このとき, 曲線C, 接線mと y軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。

使えるようにしたいチェックポイント
YouTube解説
答
x=4で接するf(x)-g(x)=(x-4)2の例をもっと考えよう

使えるようにしたいチェックポイント

【ポイント１】引き算は後ろを基準に考える
【ポイント２】「x=aで接する」と言われれば「aを重解にもつから(x-a)²の形」に変形できる
【ポイント３】(x-a)²のままで積分する

接線mの方程式を求めて、上側の曲線C から下側の接線m を引いて積分計算ではセンター試験などでは時間が足りなくなります。接点の x 座標が与えられていることに着目すると計算も簡単です。

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答

\[
\frac{64}{3}
\]
【解答】曲線Cと接線mは x=4 である点Aで接していて、曲線Cは下に凸なので
$\hspace*{20pt}S=\int^4_0 (x-4)^2 dx\hspace*{150pt}(1)$
$\hspace*{30pt}=\left[ \frac{1}{3}(x-4)^3 \right]^4_0 }$
$\hspace*{30pt}=\frac{64}{3} }$

時間がかかってしまいますが、最も一般的と思われる解答をつくってみます。

【別解】f(x)=x²-5x+1 とおくと, f'(x)=2x-5 より f'(4)=3 とから点Aにおける接線の方程式は
$\hspace*{20pt}y-(-3)=3(x-4) }$
すなわち
$\hspace*{20pt}y=3x-15 }$

よって, 求める面積は
$\hspace*{20pt}S=\int^4_0 \left{ (x^2-5x + 1)-(3x-15) \right} dx\hspace*{100pt}(2)$
$\hspace*{30pt}=\int^4_0 (x^2-8x + 16) dx }$
$\hspace*{30pt}=\left[ \frac{1}{3}x^3 -4x^2 + 16x \right]^4_0 }$
$\hspace*{30pt}=\frac{1}{3} \cdot 4^3 -4 \cdot 4^2 + 16 \cdot 4 }$
$\hspace*{30pt}=\frac{64}{3} }$

ここで重要なことは、「結果が同じになって計算できた」ではありません。

赤で記した(1)と(2)の式に着目してください。
並べてみますね
$\hspace*{20pt}S=\int^4_0 (x-4)^2 dx\hspace*{150pt}(1) \\ \hspace*{20pt}S=\int^4_0 \left{ (x^2-5x + 1)-(3x-15) \right} dx\hspace*{100pt}(2)$
∫とdxの間に挟まれた式は計算すると同じ式（数学っぽく言えば恒等式）です。

計算すると同じですが、式の意味が違います。ここで使える考えかたは引き算は後ろが基準という考えかたです。

(2) は y=3x-5 を基準として y=x²-5x+1 を見ています。
(1) は引き算になっていないのでゼロを補うと y=0 を基準として y=(x-4)² を見ています。

囲まれた部分の形そのものは違うのですが、面積はまったく同じになります。

面積を求める積分の公式
$\hspace*{30pt}S=\int^b_a \left{ f(x)-g(x) \right}dx }$
も「上のf(x)から下のg(x)を引く」というより「下のg(x)を基準にして上のf(x)を見上げる」ような感覚があるともっと楽しく素早く解けるようになると思います。