例題
次の式を、たすきがけせずに因数分解せよ。 \[ 3a^2 – 5ab – 2b^2 + 4a – b + 1 \]たすきがけできる人は、$ 3a^2-5ab -2b^2 $から因数分解する方法を試してみてください（【関連記事】→ ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f の因数分解 )
ステップ 1：グループ分け
$a$ か $b$ のどちらかの文字についてまとめ直すことも大切ですが、全体として2次になる最初の3項に着目します。
\[ (3a^2 – 5ab – 2b^2) + 4a – b + 1 \]
このカッコでくくった部分を先に因数分解します(たすき掛けの因数分解を使う場合もこの方法が簡単です)。
ステップ 2：前半部分の因数分解
積が \(3 \times -2 = -6\)、和が \(-5\) となる数の組は \(-6, 1\)なので、3項の真ん中の$ab$の係数$5$を $-6+1 $に分けることで、次のように共通因数をくくることを繰り返すだけで因数分解できます。
\begin{eqnarray}
3a^2 – 5ab – 2b^2
&=& 3a^2 – 6ab + ab – 2b^2 \\
&=& 3a(a – 2b) + b(a – 2b) \\
&=& (3a + b)(a – 2b)
\end{eqnarray}
この因数分解については、【裏技？】たすき掛け因数分解をしない因数分解で詳しく解説しています。
ステップ 3：最終形から戻る
\[ (3a + b)(a – 2b) + 4a – b + 1 \]
たすき掛けできない場合は、因数分解されたあとの形を予想してみましょう。
\[ (3a + b)(a – 2b) + 4a – b + 1 = (3a+b+M)(a-2b+N) \hspace{5mm} \cdots \mbox{①} \]
の形に因数分解できるはずなので、右辺を展開して定数 \(M\), \(N\) を求めることにします。
ステップ 4：係数比較から連立方程式を立てる
実際に計算してみましょう。①の左辺の後半 $+4a-b+1$ と係数比較しやすいように変形しましょう。
\begin{eqnarray}
\mbox{①の右辺} &=& (3a + b)(a – 2b) +M(a-2b)+(3a+b)N+MN \\
&=& (3a + b)(a – 2b) +Ma-2Mb+3Na+Nb+MN \\
&=& (3a + b)(a – 2b) +Ma+3Na-2Mb+Nb+MN \\
&=& (3a + b)(a – 2b) +(M+3N)a+(-2M+N)b+MN
\end{eqnarray}
あとは$a, b $の係数と定数項を比較します。
①の左辺と係数を比較して
\begin{eqnarray}
M+3N=4 \hspace{5mm} \cdots \mbox{②} \\
-2M+N=-1 \hspace{5mm} \cdots \mbox{③} \\
MN=1 \hspace{5mm} \cdots \mbox{④}
\end{eqnarray}
②×2+③より
\[7N=7 \mbox{すなわち} N=1\]
②に代入、計算して
\[ M=1 \]
このとき④も成立する。よって、与式は
\[ (3a + b + 1)(a – 2b + 1) \hspace{5mm} \cdots (\mbox{答}) \]
と因数分解できる。
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