b/a=偶数のときの2次方程式は、平方完成から絶対値へ

2次方程式の解の公式を知らないという人は少数だと思いますが、bが偶数のときはルートの外へ2を出す作業があって、計算ミスを起こしやすいです。

解の公式は、bが偶数のときは $b=2b’$として

\[ x=\frac{-b’ \pm \sqrt{b’^2-ac}}{a} \]

を使えると計算量が少なくてすむのですが、どうもこの公式そのものが敷居が高いようです。

今回は、この式を使わずに早く解く方法として

（A）$ \frac{b}{a}= $ 偶数のときは、平方完成して絶対値に持ち込む方法

（B）通常の解の公式を使って、ルートの中から先に4だけくくりだす方法

をご紹介します。

例題

【問題】次の2次方程式を解け

（１）$ x^2-6x+4=0$

（２）$ x^2+8x-5=0$

（３）$ 2x^2-4x+1=0 $

解答A…平方完成して絶対値へ

（１）

\begin{eqnarray} x^2-6x+4=0 \\ x^2-6x+9 =5 \\ (x-3)^2=5 \\ |x-3|= \sqrt{5} \\ x=3 \pm \sqrt{5} \end{eqnarray}

（２）

\begin{eqnarray} x^2+8x-5=0 \\ x^2+8x+16 =11 \\ (x+4)^2=11 \\ |x+4|= \sqrt{11} \\ x=-4 \pm \sqrt{11} \end{eqnarray}

（３）

\begin{eqnarray} 2x^2-4x+1=0 \\ x^2-2x+\frac{1}{2} =0 \\ x^2-2x+1 = \frac{1}{2} \\ (x-1)^2=\frac{1}{2} \\ |x-1|= \frac{1}{\sqrt{2}} \\ x=1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}\pm }{2} \end{eqnarray}