【裏技？】たすき掛け因数分解をしない因数分解

\begin{eqnarray} \color{yellow}{ac}x^2+(\color{red}{ad}+\color{red}{bc})x+\color{yellow}bd &=& \color{yellow}{ac}x^2+\color{red}{ad}x+\color{red}{bc}x+\color{yellow}{bd} \\ &=& ax(cx+d)+b(cx+d) \\ &=& (ax+b)(cx+d) \end{eqnarray} $x$の係数の順番を $\color{red}{ad}+\color{red}{bc} $ ではなく $\color{red}{bc}+\color{red}{ad}$ にすると \begin{eqnarray} \color{yellow}{ac}x^2+(\color{red}{bc}+\color{red}{ad})x+\color{yellow}bd &=& \color{yellow}{ac}x^2+\color{red}{bc}x+\color{red}{ad}x+\color{yellow}{bd} \\ &=& cx(ax+b)+d(ax+b) \\ &=& (ax+b)(cx+d) \end{eqnarray} と確かに計算できました。

例題

【例題1】$ \hspace{20mm} 2x^2 + 7x + 3 $
【例題2】$ \hspace{20mm} 3x^2 + 8x + 4 $
【例題3】$ \hspace{20mm} 4x^2 – 8x – 5 $
【例題4】$ \hspace{20mm} 5x^2 -11x – 12 $
【例題5】$ \hspace{20mm} 6x^2 – 13x + 6 $

例題解答

【例題1】 \begin{eqnarray} 2x^2 + 7x + 3 &=& \color{yellow}{2}x^2 + (\color{red}{6}+\color{red}{1}) x + \color{yellow}{3} \\ &=& 2x(x+3) +x+3 \\ &=& (x+3)(2x+1) \hspace{5mm} \cdots (\mbox{答}) \end{eqnarray} 【例題2】 \begin{eqnarray} 3x^2 + 8x + 4 &=& \color{yellow}{3}x^2 + (\color{red}{6}+\color{red}{2}) x + \color{yellow}{4} \\ &=& 3x(x+2) +2x+4 \\ &=& (x+2)(3x+2) \hspace{5mm} \cdots (\mbox{答}) \end{eqnarray} 【例題3】 \begin{eqnarray} 4x^2 – 8x – 5 &=& \color{yellow}{4}x^2 + \{ \color{red}{2}+( \color{red}{-10}) \} x \color{yellow}{-5} \\ &=& 2x(2x+1) -10x-5 \\ &=& 2x(2x+1) -5(2x+1) \\ &=& (2x+1)(2x-5) \hspace{5mm} \cdots (\mbox{答}) \end{eqnarray} 【例題4】 \begin{eqnarray} 5x^2 – 11x – 12 &=& \color{yellow}{5}x^2 + (\color{red}{-15}+\color{red}{4}) x \color{yellow}{-12} \\ &=& 5x(x-3) +4x-12 \\ &=& 5x(x-3) +4(x-3) \\ &=& (x-3)(5x+4) \hspace{5mm} \cdots (\mbox{答}) \end{eqnarray} 【例題5】 \begin{eqnarray} 6x^2 – 13x + 6 &=& \color{yellow}{6}x^2 + \{\color{red}{-4}+(\color{red}{-9})\} x + \color{yellow}{6} \\ &=& 2x(3x-2) -9x+6 \\ &=& 2x(3x-2) -3(3x-2) \\ &=& (2x-3)(3x-2) \hspace{5mm} \cdots (\mbox{答}) \end{eqnarray}

実は $x^2+(a+b)x+ab$ も全く同じように計算できる

たとえば \begin{eqnarray} x^2 -4x – 5 &=& \color{yellow}{1}x^2 + (\color{red}{-5}+\color{red}{1}) x \color{yellow}{-5} \\ &=& x(x-5) +x-5 \\ &=& (x+1)(x-5) \hspace{5mm} \cdots (\mbox{答}) \end{eqnarray} と計算できますが、この場合は「かけて$-5,$ たして $-4$ 」となる2つの数を見つけるほうが速いですね。

練習問題

【問1】$ \hspace{20mm} 5x^2 -11 x + 2 $
【問2】$ \hspace{20mm} 6x^²+13x-5 $
【問3】$ \hspace{20mm} 12x^2+10x+2 $
【問4】$ \hspace{20mm} 35x^2-36x-32 $
【問5】$ \hspace{20mm} 48x^2 -5x \,- 18 $

偶数・奇数の和

\begin{eqnarray} \mbox{偶数} + \mbox{偶数} &=& \mbox{偶数} \\ \mbox{偶数} + \mbox{奇数} &=& \mbox{奇数} \\ \mbox{奇数} + \mbox{偶数} &=& \mbox{奇数} \\ \mbox{奇数} + \mbox{奇数} &=&\mbox{偶数} \end{eqnarray}

偶数・奇数の積

\begin{eqnarray} \mbox{偶数} \times \mbox{偶数} &=& \mbox{偶数} \\ \mbox{偶数} \times \mbox{奇数} &=& \mbox{偶数} \\ \mbox{奇数} \times \mbox{偶数} &=& \mbox{偶数} \\ \mbox{奇数} \times \mbox{奇数} &=&\mbox{奇数} \end{eqnarray}

練習問題

【問1】\begin{eqnarray} 5x^2 -11 x + 2 &=& \color{yellow}{5}x^2 + \{\color{red}{-10}+(\color{red}{-1})\} x + \color{yellow}{2} \\ &=& 5x(x-2) -x+2 \\ &=& (x-2)(5x-1) \hspace{5mm} \cdots (\mbox{答}) \end{eqnarray} 【問2】\begin{eqnarray} 6x^²+13x-5 &=& \color{yellow}{6}x^2 + \{\color{red}{15}+(\color{red}{-2})\} x \color{yellow}{-5} \\ &=& 3x(2x+5) -2x-5 \\ &=& (2x+5)(3x-1) \hspace{5mm} \cdots (\mbox{答}) \end{eqnarray} 【問3】\begin{eqnarray} 12x^2+10x+2 &=& 2(6x^2+5x+1) \\ &=& 2 \{ \color{yellow}{6}x^2 + (\color{red}{3}+\color{red}{2}) x + \color{yellow}{1} \} \\ &=& 2 \{ 3x(2x+1) +2x+1 \} \\ &=& 2(2x+1)(3x+1) \hspace{5mm} \cdots (\mbox{答}) \end{eqnarray}

もし、2でくくりそびれてしまったら…

\begin{eqnarray} 12x^2+10x+2 &=& \color{yellow}{12}x^2 + (\color{red}{6}+\color{red}{4}) x + \color{yellow}{2} \\ &=& 6x(2x+1) +4x+2 \\ &=& (2x+1)(6x+2) \\ &=& 2(2x+1)(3x+1) \hspace{5mm} \cdots (\mbox{答}) \end{eqnarray} 【問4】$ \hspace{20mm} 35x^2-36x-32 $

$35$と$-32$ を掛けると数字が大きくなるので、そのままにします。
偶奇に着目して$35=5 \cdot 7$ の$5$と$7$を分けてみます。あとは$-32$を2つの整数に分解し、$5$ や $7$ との積の差が$36$になる数字を探しましょう。
積が32になるのは

\begin{array}{|c|c|c|} \hline 32 & 16 & 8 \\ \hline 1 & 2 & 4 \\ \hline \end{array} ですから、$8$と$4$あたりがあやしく、$7\cdot 8$ と $5 \cdot 4 $ から差が$36$の数が見つかります。これで計算できます。 \begin{eqnarray} 35x^2-36x-32 &=& \color{yellow}{35}x^2 + (\color{red}{-7 \cdot 8}+\color{red}{5 \cdot 4}) x \color{yellow}{-32} \\ &=& 7x(5x-8) +5 \cdot 4x-32 \\ &=& 7x(5x-8) +4(5x-8) \\ &=& (5x-8)(7x+4) \hspace{5mm} \cdots (\mbox{答}) \end{eqnarray} 【問5】$ \hspace{20mm} 48x^2 -5x \, – 18 $

$48$と$-18$ を掛けると数字が大きくなるので、そのままにします。
偶奇に着目しますが、$48=3 \cdot 16 $ と $18=9 \cdot 2 $ から現れる奇数は分けずにまとめてみます。残った $16$ と $2$ の積を組み直して、差が$5$になる数字を探しましょう。 \begin{eqnarray} 48x^2 -5x \,- 18 &=& \color{yellow}{48}x^2 + (\color{red}{-16 \cdot2 }+\color{red}{27}) x \, \color{yellow}{-18} \\ &=& 16x(3x-2) +27x\, -18 \\ &=& 16x(3x-2) +9(3x-2) \\ &=& (3x-2)(16x+9) \hspace{5mm} \cdots (\mbox{答}) \end{eqnarray}