置き換えを使った因数分解

因数分解に限らず、数学では「置き換え」をすることで、複雑な式をより簡単な式に変えることができます。

必ずしも置き換える必要はありませんが、ちょっとこまったときにどうするかという一手として使えるようにしておきましょう。

（１）$ (2x-y)^2-(x+3y)^2 $

＜方針＞カッコの中の $2x-y$ を $A,$ $x+3y$ を $B$ とおくと

\[ A^2-B^2 \]

の形になるので、これならすぐに因数分解できそうです。

＜解＞ $ 2x-y=A, x+3y=B $ と置くと

\begin{eqnarray} \mbox{与式} &=& A^2-B^2 \\ &=& (A+B)(A-B) \\ &=& \{(2x-y)+(x+3y)\} \{(2x-y)-(x+3y) \} \\ &=& (2x -y+x+3y)(2x-y-x-3y) \\ &=& (3x+2y)(x-4y) \end{eqnarray}

（２）$ (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 $

対称性を崩して1文字について整理するのが基本でしょうが・・・

$ a-b=X, b-c=Y,c-a=Z $とおくと

$ a-b =X, b-c=Y, c-a=Z $とおくと, $ X^3+Y^3+Z^3-3XYZ=(X+Y+Z)(X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX) $ が利用できます。

【解答】

$ a-b =X, b-c=Y, c-a=Z $とおくと

\begin{eqnarray} \mbox{与式} &=& X^3+Y^3+Z^3 \\ &=& (X+Y+Z)(X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX)+3XYZ \cdots \mbox{①}\end{eqnarray}

となるが,

\[ X+Y+Z=a-b+b-c+c-a=0 \]

なので

\begin{eqnarray} \mbox{①} &=& 3XYZ \\ &=& (a-b)(b-c)(c-a) \cdots \mbox{(答)}\end{eqnarray}